Question

Решить уравнение. (x-6)^4+(x-4)^2=82

Answer 1

$(x-6)^4+(x-4)^2=82=81+1=9^2+1^2 \Leftrightarrow (x-6)^4-9^2+(x-4)^2-1^2=0$; Воспользуемся формулой разности квадратов:

$(x^2-12x+27)(x^2-12x+45)+(x-5)(x-3)=0$;

$(x-3)(x-9)(x^2-12x+45)+(x-5)(x-3)=0\Leftrightarrow (x-3)((x-9)(x^2-12x+45)+x-5)=0$; Отсюда получаем первый корень - x=3;

Думаю, что в уравнении ошибка, т.к. имеется еще один корень - корень уравнения $(x-9)(x^2-12x+45)+x-5=0$; Для полноты напишу его (можно использовать формулу Кардано):

$x=7+\frac{\sqrt[3]{81+\sqrt{7590} } }{3^{2/3}} -\frac{7}{\sqrt[3]{3(81+\sqrt{7590} )} } \approx 8.7739$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение.

(x - 6)^4 + (x - 4)^2 = 82

Для начала раскроем скобки:

(x - 6)(x - 6)(x - 6)(x - 6) + (x - 4)(x - 4) = 82

Затем упростим его:

(x^2 - 12x + 36)(x^2 - 12x + 36) + (x^2 - 8x + 16) = 82

Теперь обозначим переменную y = x^2 - 12x:

(y + 36)(y + 36) + (y - 8) = 82

(y^2 + 72y + 1296) + (y - 8) = 82

y^2 + 73y + 1288 = 82

y^2 + 73y + 1206 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой квадратного корня или методом завершения квадрата.

Используем метод завершения квадрата. Добавим и вычтем число, чтобы получить полный квадрат:

y^2 + 73y + (73/2)^2 = -1206 + (73/2)^2

y^2 + 73y + (73/2)^2 = -1206 + 5329/4

y^2 + 73y + (73/2)^2 = -4824/4 + 5329/4

y^2 + 73y + (73/2)^2 = 506/4

y^2 + 73y + (73/2)^2 = 127/1

Теперь приведём уравнение к квадратному виду:

(y + 73/2)^2 = 127/1

(y + 73/2)^2 = 127

Теперь избавимся от квадрата, извлекая корень из обеих сторон:

y + 73/2 = ±√(127)

y + 73/2 = ±11.269

Теперь решим два уравнения для y:

1. y + 73/2 = 11.269 y = 11.269 - 73/2 y = 11.269 - 36.5 y = -25.231

2. y + 73/2 = -11.269 y = -11.269 - 73/2 y = -11.269 - 36.5 y = -47.769

Теперь вернёмся к выражению y = x^2 - 12x:

1. x^2 - 12x = -25.231 x^2 - 12x + 25.231 = 0

2. x^2 - 12x = -47.769 x^2 - 12x + 47.769 = 0

Решим оба квадратных уравнения:

1. x^2 - 12x + 25.231 = 0 Для решения этого уравнения можно воспользоваться квадратным корнем или формулой квадратного корня. Находим корни и получаем:

   x1 ≈ 2.894 x2 ≈ 9.106

2. x^2 - 12x + 47.769 = 0 Используем тот же метод для решения этого уравнения:

   x1 ≈ 1.697 x2 ≈ 10.303

Таким образом, уравнение (x-6)^4 + (x-4)^2 = 82 имеет четыре решения:

x1 ≈ 2.894 x2 ≈ 9.106 x3 ≈ 1.697 x4 ≈ 10.303