Question

Помогите молю даю 80 балов кого нибудь я не понимаю эту тему вообще как с помощью производной построить график 1) y(x)=x* корень 2-x 2) y(x)=2x/1-x^2 с подробным решением пожалуйста

Answer 1

Ответ:

Смотри фотографию. Подробнее в комментарии

Вторая функция

ОДЗ: х не равен -1 и 1

Как функция себя ведёт: положительна от -беск до -1, от -1 до 0 отрицательна, от 0 до 1 положительна, от 1 до +беск.и отрицательна

Производная: (2+2х^2)/(1-х^2)^2

Точка максимума: отсутствуют

При у=0 х=0

Answer 2

Конечно, я помогу вам разобраться с построением графиков данных функций с использованием производных. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди.

1. Функция y(x) = x * √(2 - x^2)

Шаг 1: Найдем область определения функции. В данном случае, функция определена для всех значений x, которые удовлетворяют условию внутри корня, то есть 2 - x^2 ≥ 0. Это неравенство решается следующим образом:

2 - x^2 ≥ 0 x^2 ≤ 2 -√2 ≤ x ≤ √2

Таким образом, область определения функции - это интервал [-√2, √2].

Шаг 2: Найдем производную функции y(x) по x. Для этого применим правило производной произведения функций.

y(x) = x * √(2 - x^2)

Применяем правило производной произведения функций (u * v)' = u' * v + u * v': y'(x) = (x)' * √(2 - x^2) + x * (√(2 - x^2))'

y'(x) = 1 * √(2 - x^2) + x * (1/2) * (2 - x^2)^(-1/2) * (2x)

y'(x) = √(2 - x^2) + x^2 / √(2 - x^2)

Шаг 3: Найдем точки экстремума функции, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

√(2 - x^2) + x^2 / √(2 - x^2) = 0

Умножим обе части уравнения на √(2 - x^2), чтобы избавиться от знаменателя:

(2 - x^2) + x^2 = 0

2 = 0

Это уравнение не имеет решений, следовательно, функция не имеет точек экстремума.

Шаг 4: Найдем точку перегиба, приравняв вторую производную к нулю:

y''(x) = (√(2 - x^2) + x^2 / √(2 - x^2))' = (2x^2) / ((2 - x^2)^(3/2))

(2x^2) / ((2 - x^2)^(3/2)) = 0

2x^2 = 0

x^2 = 0

x = 0

Теперь определим, в какой части интервала [-√2, √2] функция выпуклая (вверх) или вогнутая (вниз). Для этого возьмем произвольную точку в каждой из трех областей: x < -√2, -√2 < x < 0, 0 < x < √2 и подставим во вторую производную.

Для x = -1 (x < -√2): y''(-1) = (2(-1)^2) / ((2 - (-1)^2)^(3/2)) = 2 / (2 - 1)^(3/2) = 2 / 1 = 2 > 0

Для x = 1 (0 < x < √2): y''(1) = (2(1)^2) / ((2 - 1^2)^(3/2)) = 2 / (2 - 1)^(3/2) = 2 / 1 = 2 > 0

Таким образом, на интервалах (-∞, -√2) и (0, ∞) функция выпуклая, а на интервале (-√2, 0) функция вогнутая.

Шаг 5: Найдем поведение функции на границах интервала [-√2, √2].

При x → -√2: lim(x→-√2) y(x) = -√2 * √(2 - (-√2)^2) = -√2 * √(2 - 2) = -√2 * √0 = 0

При x → √2: lim(x→√2) y(x) = √2 * √(2 - (√2)^2) = √2 * √(2 - 2) = √2 * √0 = 0

Шаг 6: Наконец, нарисуем график функции, используя все полученные данные.

На основе этой информации, можно составить примерный график функции y(x) = x * √(2 - x^2). График будет выглядеть примерно так:

yamlCopy code
         ^
         |
     √2 /|
        / |
       /  |
------/---|---------->
     /    | x
    /     |
   /      |
 -√2\     |
     \    |
      \   |
       \  |
        \ |
         \|
         v

График будет иметь нулевые значения на границах интервала [-√2, √2], а также точку перегиба в (0, 0). На интервалах (-∞, -√2) и (0, ∞) функция будет выпуклой (направлена вверх), а на интервале (-√2, 0) - вогнутой (направлена вниз).