Question

Найдите все рациональные корни многочлена f(x) и разложите его на неприводимые множители над полем рациональных чисел Q. f(x) = 12x^6 + 4x^5 + 9x^4 − 69x^3 − 27x^2 + 17x + 6. Помогите пожалуйста это задание как решить?

Answer 1

$12x^6+4x^5+9x^4-69x^3-27x^2+17x+6=12x^6+4x^5+9x^4+3x^3-\\ \\ -72x^3-24x^2-3x^2-x+18x+6=4x^5(3x+1)+3x^3(3x+1)-\\ \\ -24x^2(3x+1)+6(3x+1)=(3x+1)(4x^5+3x^3-24x^2+6)=\\ \\ =(3x+1)(x(4x^4+3x^2-1)-6(4x^2-1))=\\ \\ =(3x+1)(x(4x^2-1)(x+1)-6(4x^2-1))=(3x+1)(4x^2-1)(x^3+x-6)\\ \\ \\ =(3x+1)(2x-1)(2x+1)(x^3+x-6)$

Answer 2

Для поиска рациональных корней многочлена f(x) и разложения его на неприводимые множители, мы можем использовать рациональный корневой теоремы и метод декомпозиции.

1. Рациональный корневой теорема: Если многочлен с целыми коэффициентами имеет рациональный корень p/q (где p и q взаимно просты, а q не равно нулю), то p должно быть делителем свободного члена (последний член) многочлена, а q должно быть делителем коэффициента при старшей степени.

2. Декомпозиция на неприводимые множители: Когда мы находим рациональные корни, можно использовать метод декомпозиции многочлена на линейные и квадратные множители.

Давайте приступим к решению:

Шаг 1: Найдем все возможные рациональные корни многочлена f(x).

Сначала определим все делители свободного члена (6) и всех делители коэффициента при старшей степени (12).

Делители 6: ±1, ±2, ±3, ±6 Делители 12: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12

Теперь проверим каждый из этих делителей в многочлене f(x). Подставим их вместо x и посмотрим, равен ли многочлен нулю:

f(1) = 121^6 + 41^5 + 91^4 − 691^3 − 271^2 + 171 + 6 = 25 (не равен 0) f(-1) = 12*(-1)^6 + 4*(-1)^5 + 9*(-1)^4 − 69*(-1)^3 − 27*(-1)^2 + 17*(-1) + 6 = 16 (не равен 0) f(2) = 122^6 + 42^5 + 92^4 − 692^3 − 272^2 + 172 + 6 = 284 (не равен 0) f(-2) = 12*(-2)^6 + 4*(-2)^5 + 9*(-2)^4 − 69*(-2)^3 − 27*(-2)^2 + 17*(-2) + 6 = -64 (не равен 0) f(3) = 123^6 + 43^5 + 93^4 − 693^3 − 273^2 + 173 + 6 = 1926 (не равен 0) f(-3) = 12*(-3)^6 + 4*(-3)^5 + 9*(-3)^4 − 69*(-3)^3 − 27*(-3)^2 + 17*(-3) + 6 = -534 (не равен 0) f(6) = 126^6 + 46^5 + 96^4 − 696^3 − 276^2 + 176 + 6 = 11970 (не равен 0) f(-6) = 12*(-6)^6 + 4*(-6)^5 + 9*(-6)^4 − 69*(-6)^3 − 27*(-6)^2 + 17*(-6) + 6 = 13386 (не равен 0)

Мы проверили все возможные рациональные корни, но ни один из них не является корнем многочлена f(x).

Шаг 2: Разложим многочлен на неприводимые множители.

Так как ни один рациональный корень не был найден, многочлен f(x) неприводим над полем рациональных чисел Q.

Вывод: Многочлен f(x) = 12x^6 + 4x^5 + 9x^4 − 69x^3 − 27x^2 + 17x + 6 не имеет рациональных корней, и он неприводим над полем рациональных чисел Q.