Question

СРОЧНО! Найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат, параболой y= -2x-x^2 и касательной к параболе, проведённой через точку (-2;0)

Answer 1

Ответ:

============================

Объяснение:

Answer 2

Хорошо, давайте рассмотрим, как найти площадь фигуры, ограниченной осью ординат, параболой y = -2x - x^2 и касательной к параболе, проведённой через точку (-2;0).

1. Начнем с построения графиков функций, чтобы лучше визуализировать их взаимное расположение:

График параболы: y = -2x - x^2 График касательной к параболе в точке (-2;0)

2. Найдем уравнение касательной к параболе в точке (-2;0): Первая производная функции y = -2x - x^2: dy/dx = -2 - 2x

Подставим x = -2, чтобы найти значение производной в точке (-2;0): dy/dx = -2 - 2(-2) = -2 + 4 = 2

Таким образом, уравнение касательной к параболе в точке (-2;0) имеет вид: y = 2x + b

3. Теперь найдем значение b, подставив координаты точки (-2;0) в уравнение касательной: 0 = 2(-2) + b 0 = -4 + b b = 4

Итак, уравнение касательной к параболе через точку (-2;0) имеет вид: y = 2x + 4

4. Чтобы найти точки пересечения параболы и касательной, приравняем их уравнения: -2x - x^2 = 2x + 4

5. Приведем уравнение квадратного полинома к стандартному виду: x^2 + 4x + 4 = 0

6. Решим уравнение квадратного полинома: x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2 = 0

Итак, получаем единственное решение: x = -2

Таким образом, парабола и касательная пересекаются в точке (-2;0).

7. Теперь мы знаем, что ось ординат проходит через точку (-2;0) и также является вертикальной прямой. Площадь фигуры ограничена осью ординат, параболой и касательной.

Для вычисления площади фигуры, нам необходимо вычислить площадь области между касательной, параболой и осью ординат на интервале [-2, 0].

8. Вычислим площадь: Площадь = |∫(от -2 до 0) (парабола - касательная) dx|

Площадь = |∫(от -2 до 0) (-2x - x^2 - (2x + 4)) dx|

Площадь = |∫(от -2 до 0) (-x^2 - 4) dx|

Площадь = |[-(x^3)/3 - 4x] (от -2 до 0)|

Площадь = |[-(0^3)/3 - 4(0)] - [(-(-2)^3)/3 - 4(-2)]|

Площадь = |[0 + 0] - [(8)/3 - (-8/3)]|

Площадь = |0 - (16/3)|

Площадь = 16/3

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной осью ординат, параболой y = -2x - x^2 и касательной y = 2x + 4, равна 16/3 квадратных единиц.