Question

Найдите площадь фигуры, ограниченную параболой , касательной, проведённой к данной параболе в точке с абциссой , и осью ординат.

Answer 1

Ответ:

$y = 2x - {x}^{2}$

$f(x) = y(x_0) + y'(x_0)(x - x_0)$

$x_0 = 2$

$y(2) = 4 - 4 = 0$

$y '= 2 - 2x$

$y(2) = 2 - 4 = - 2$

$f(x) = 0 - 2(x - 2) = - 2x + 4$

- уравнение касательной

_______________

$y_1 = 2x - {x}^{2} \\ y_2 = - 2x + 4$

рисунок

$S = S_1 - S_2$

$S= \int\limits^{ 2} _ {0}( - 2x + 4)dx - \int\limits^{ 2} _ {0}(2x - {x}^{2}) dx = \\ = \int\limits^{2 } _ {0}( - 2x + 4 - 2x + {x}^{2})dx \int\limits^{ 2} _ {0}( {x}^{2} - 4x + 4) dx = \\ = \int\limits^{ 2 } _ {0}(x - 2) {}^{2}d(x - 2) = \frac{ {(x - 2)}^{3} }{3} | ^{ 2 } _ {0} = \\ = 0 - ( - \frac{8}{3} ) = \frac{8}{3}$

Ответ: 8/3

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой, касательной и осью ординат, нужно сначала найти уравнения параболы и касательной.

Пусть уравнение параболы имеет вид $y = ax^2 + bx + c$. Известно, что парабола касается оси ординат, поэтому она имеет точку касания на оси ординат с координатами $(0, c)$.

Также, касательная проведена к параболе в точке с абсциссой $x_0$. В этой точке касательная имеет тот же самый наклон, что и парабола. Поэтому производные параболы и касательной в точке $x_0$ равны между собой.

Производная параболы $y' = 2ax + b$.

Касательная в точке $(x_0, ax_0^2 + bx_0 + c)$ имеет уравнение $y = 2ax_0x + (b - 2ax_0^2)$.

Теперь, чтобы найти точку касания, приравняем выражения для $y$ и найдем значение $x_0$:

$2ax_0x + (b - 2ax_0^2) = ax_0^2 + bx_0 + c$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

$2ax_0 = a$ $b - 2ax_0^2 = b$ $ax_0^2 + bx_0 + c$

Из первого уравнения получаем, что $x_0 = \frac{1}{2}$. Подставляя это значение во второе уравнение, получаем $b - \frac{1}{2} = b$, что невозможно. Таким образом, такой касательной не существует, и фигуры, ограниченной параболой, касательной и осью ординат, нет.