Question

Решить уравнение ((log 0,25)^2(64x)+8 log 0,25 x = 17

Answer 1

$\displaystyle \log^2_{0,\!25}(64x)+8\log_{0,\!25}x=17\\\#\;0,\!25=\frac14=4^{-1}\\\\(-\log_4(64x))^2-8\log_4x=17\\\#(-1)^2=1\\\\ (\log_464+\log_4x)^2-8\log_4x=17\\\#\log_464=\log_44^3=3\\\\ \log^2_4x+6\log_4x+9-8\log_4x-17=0$

$\displaystyle \log_4x\cdot (\log_4x-4)+2(\log_4x-4)=0\\\\ (\log_4x-4)(\log_4x+2)=0\\\\ \begin{bmatrix}\log_4x=4\\\log_4x=-2\end{matrix}\quad \begin{bmatrix}x=4^4=256\qquad \qquad \qquad \quad\\x=4^{-2}=\frac1{16}=\frac{5^4}{(2\cdot 5)^4}=0,\!0625\end{matrix}$

Ответ: x = {0,0625 ; 256}

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его поэтапно.

1. Раскроем логарифмические выражения, используя свойство $\log_a(b^c) = c \log_a(b)$:

$(\log 0,25)^2(64x) + 8 \log 0,25 x = 17$ $(\log 0,25)^2(64x) + 8(\log 0,25)(\log 0,25)^{-1}x = 17$ $(\log 0,25)^2(64x) + 8(\log 0,25)(\log_{0,25} 1)x = 17$

Обратите внимание, что $\log_{0,25} 1 = -1$, так как $0,25^{-1} = 1$.

2. Упростим выражение $(\log 0,25)^2$:

$(\log 0,25)^2 = (\log_{0,25} 1)^2 = (-1)^2 = 1$

Теперь у нас есть:

$64x + 8(-x) = 17$

3. Упростим это выражение:

$64x - 8x = 17$ $56x = 17$

4. Разделим обе стороны на 56:

$x = \frac{17}{56}$

Таким образом, решением уравнения является $x = \frac{17}{56}$.