Question

Определите значения a, при которых уравнение 4x^3+4x^2+ax=0 имеет два корня. Найдите эти корни

Answer 1

$4x^3+4x^2+ax=0\\ \\ x(4x^2+4x+a)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$x_1=0\\ \\ 4x^2+4x+a=0$

Один корень уже известен. Теперь нужно найти те значения параметра а, при котором квадратное уравнение $4x^2+4x+a=0$ имеет один действительный корень.

$D=4^2-4\cdot 4\cdot a=16-16a=16(1-a)$

Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант равен нулю, т.е. $16(1-a)=0$ откуда $a=1$

Ответ: a = 1.

Answer 2

Чтобы уравнение 4x^3 + 4x^2 + ax = 0 имело два корня, оно должно быть квадратным трёхчленом. Это возможно, если коэффициент при x^2 равен нулю.

В данном случае коэффициент при x^2 равен 4, поэтому a должно быть равно -4, чтобы получить квадратный трёхчлен.

Теперь, когда a = -4, у нас есть уравнение 4x^3 + 4x^2 - 4x = 0. Мы можем его факторизовать, вынеся общий множитель x:

x(4x^2 + 4x - 4) = 0

Теперь решим уравнение 4x^2 + 4x - 4 = 0, используя квадратное уравнение или формулу дискриминанта.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(4)(-4) = 16 + 64 = 80

Так как D > 0, у нас есть два различных вещественных корня.

Корни можно найти с помощью формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

x = (-4 ± √80) / (2(4))

x = (-4 ± 4√5) / 8

Упростим дробь:

x = (-1 ± √5) / 2

Таким образом, уравнение 4x^3 + 4x^2 - 4x = 0 имеет два корня: (-1 + √5) / 2 и (-1 - √5) / 2.