Question

На сторонах ac и bc отметили точки e и f соответственно. Отрезки af и be пересекаются в точке k . В каком отношении точка K делит отрезок BE, если AE : EC= 1: 3 и BF : FC = 3 : 8.

Answer 1

Ответ:

3 : 2

Объяснение:

Answer 2

Ответ:

3 : 2.

Объяснение:

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся свойством подобия треугольников и пропорциональности отрезков.

Из условия известно, что AE : EC = 1 : 3 и BF : FC = 3 : 8. Мы можем записать эти пропорции следующим образом:

AE/EC = 1/3 (1) BF/FC = 3/8 (2)

Заметим, что отрезки AE и BF вместе составляют отрезок AB, а отрезки EC и FC вместе составляют отрезок CB. Таким образом, пропорции (1) и (2) можно переписать следующим образом:

AB/EC = 1/3 (3) AB/FC = 3/8 (4)

Теперь посмотрим на треугольники ABK и CKB. Они имеют общую высоту (отрезок BK), и мы хотим найти отношение, в котором точка K делит отрезок BE. Обозначим отношение, в котором точка K делит отрезок BE, как x : 1. Тогда отношение, в котором точка K делит отрезок EC, будет (1 - x) : 1.

Используя свойство подобия треугольников, можно записать следующие пропорции:

AB/BK = AB/EC = 1/3 (5) CK/BK = CK/FC = 3/8 (6)

Заметим, что AB = AK + KB и CB = CK + KB. Мы можем переписать пропорции (5) и (6) с использованием этих равенств:

(AK + KB)/BK = 1/3 (7) (CK + KB)/BK = 3/8 (8)

Раскроем скобки в пропорциях (7) и (8):

AK/BK + KB/BK = 1/3 (9) CK/BK + KB/BK = 3/8 (10)

Теперь выразим AK/BK и CK/BK через x:

AK/BK = (1 - x)/x (11) CK/BK = (1 - 3/8)/(3/8) = 5/3 (12)

Подставим (11) и (12) в пропорции (9) и (10):

(1 - x)/x + KB/BK = 1/3 (13) 5/3 + KB/BK = 3/8 (14)

Теперь решим получившуюся систему уравнений (13) и (14) относительно неизвестного KB/BK.

Из уравнения (13) получаем:

(1 - x)/x = 1/3 - KB/BK (15)

Из уравнения (14) получаем:

KB/BK = 3/8 - 5/3 = (9 - 40)/24 = -31/24 (16)

Подставим (16) в (15):

(1 - x)/x = 1/3 - (-31/24) (17) (1 - x)/x = 1/3 + 31/24 (18) (1 - x)/x = 8/24 + 31/24 (19) (1 - x)/x = 39/24 (20)

Перейдем к уравнению с одной переменной:

1 - x = 39x/24 (21) 24 - 24x = 39x (22) 24 = 63x (23) x = 24/63 = 8/21

Таким образом, точка K делит отрезок BE в отношении 8:21.