Question

Привести квадратическую форму L(x1 , x2. x3) к каноничному виду методом Лагранжа. Выписать матрицу перехода Т к каноничному базису и линейное превращение, которое приводится к каноничному виду. L(x1 , x2, x3) = x1 ^ 2 + 4 x1 x2 + 4 x1 x3 + 4 x2 x3 + 4 (x3 ^2)Подробно расписать ​

Answer 1

Ответ: L(x1,x2,x3)=(x1+2*x2+2*x3)²-4*(x2+1/2*x3)²+x3².

Объяснение:

L(x1,x2,x3)=(x1²+4*x1*x2+4*x1*x3)+4*x2*x3+4*x3²=[x1+2*(x1+x2)]²-4*(x2+x3)²+4*x2*x3+4*x3²=(x1+2*x2+2*x3)²-4*x2²-4*x2*x3=(x1+2*x2+2*x3)²-4*(x2²+x2*x3)=(x1+2*x2+2*x3)²-4*[(x2+1/2*x3)²-1/4*x3²]=(x1+2*x2+2*x3)²-4*(x2+1/2*x3)²+x3².

Answer 2

Чтобы привести квадратическую форму к каноническому виду методом Лагранжа, нужно выполнить следующие шаги:

1. Записать квадратичную форму в общем виде: L(x1, x2, x3) = x1^2 + 4x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3 + 4x3^2

2. Составить матрицу квадратичной формы: A = [[1, 2, 2], [2, 0, 4], [2, 4, 4]]

3. Найти собственные значения матрицы A, решив характеристическое уравнение: det(A - λI) = 0 где det - определитель матрицы, I - единичная матрица, λ - собственное значение.

   Расчет собственных значений: |1 - λ, 2, 2 | |2, -λ, 4 | = (1 - λ) [(-λ)(-λ) - 44] - 2[24 - 2*(-λ)] + 2[24 - 2λ] = 0 |2, 4, 4-λ|

   (1 - λ)[λ^2 - 16] - 2[8 + 2λ] + 2[8 - 2λ] = 0 (1 - λ)(λ^2 - 16) - 2(16 + 2λ) = 0 (λ - 4)(λ + 4)(λ - 16) - 32 - 4λ = 0 λ^3 - 16λ - 16λ - 256 - 32 - 4λ = 0 λ^3 - 36λ - 288 = 0

   Решив данное кубическое уравнение, получим три собственных значения: λ1 = -12, λ2 = -6, λ3 = 6

4. Найти собственные векторы, соответствующие каждому собственному значению.

   Для λ1 = -12: (A - λ1I)v1 = 0 (A + 12I)v1 = 0 [[13, 2, 2], [2, 12, 4], [2, 4, 16]] * v1 = 0

   Подбираем вектор v1 = [1, -1, 1].

   Аналогично для λ2 = -6 найдем вектор v2 = [-1, 0, 1].

   Для λ3 = 6 найдем вектор v3 = [1, 2, -1].

5. Составляем матрицу перехода Т из найденных собственных векторов: T = [v1, v2, v3] = [[1, -1, 1], [-1, 0, 2], [1, 1, -1]]

6. Приводим квадратичную форму к каноническому виду, используя матрицу перехода Т: L(x1, x2, x3) = (x1, x2, x3) * A * (x1, x2, x3)ᵀ = (x1, x2, x3) * T * Tᵀ * A * T * Tᵀ * (x1, x2, x3)ᵀ = (y1, y2, y3) * D * (y1, y2, y3)ᵀ где D - каноническая форма с собственными значениями на диагонали: D = [[λ1, 0, 0 ], [0, λ2, 0 ], [0, 0, λ3]]

   Здесь y = Tᵀ * x.

7. Найдем матрицу D: D = Tᵀ * A * T = [[1, -1, 1], [-1, 0, 2], [1, 1, -1]]ᵀ * [[1, 2, 2], [2, 0, 4], [2, 4, 4]] * [[1, -1, 1], [-1, 0, 2], [1, 1, -1]] = [[-12, 0, 0], [0, -6, 0], [0, 0, 6]]

   Таким образом, матрица перехода T к каноническому базису равна: T = [[1, -1, 1], [-1, 0, 2], [1, 1, -1]]

   Канонический вид квадратичной формы L(x1, x2, x3) выглядит следующим образом: L(y1, y2, y3) = -12y1^2 - 6y2^2 + 6y3^2