Question

На экзамене может быть предложено 30 вопросов, из которых студент знает ответы на 20. Наугад студент выбирает 6 вопросов. Найти вероятность того, что из них он знает ответ не менее чем на 4 вопроса. С ПРИМЕНЕНИЕМ ФОРМУЛ И ДЕТАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ КАЖДОГО ШАГА.

Answer 1

Ответ:   Р=0,69357

Объяснение:

Всего 30 вопросов Студент знает 20 вопросов и не знает 10 вопросов.

Событие А={из 6 вопросов студент знает ответ не менее, чем 4 вопроса}  равноценно событию А={из 6 вопросов студент знает 4 и не знает 2 вопроса, либо знает 5 и не знает 2 вопроса, либо знает 6 и не знает 0 вопросов}.

$n=C_{30}^6=\frac{30\cdot 29\cdot 28\cdot 27\cdot 26\cdot 25}{6!}=\frac{29\cdot 7\cdot 9\cdot 13\cdot 25}{1}=593775\\\\m=C_{20}^4\cdot C_{10}^2+C_{20}^5\cdot C_{10}^1+C_{20}^6=\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{4!}\cdot \frac{10\cdot 9}{2!}+\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16}{5!}\cdot 10+\\\\+\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}{6!}=\frac{20\cdot 19\cdot 18\cdot 17}{4!}\cdot \Big (\frac{10\cdot 9}{2}+\frac{16}{5}\cdot 10+\frac{16\cdot 15}{5\cdot 6}\Big )=\\\\=4845\cdot (45+32+8)=4845\cdot 85=411825$

$P=\frac{m}{n}=\frac{411825}{593775}\approx 0,69357$

Answer 2

Чтобы найти вероятность того, что студент знает ответы на не менее чем 4 вопроса из 6, мы можем использовать биномиальное распределение.

Формула биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1 - p)^(n - k),

где:

• P(X = k) - вероятность того, что произойдет k событий успеха (в данном случае, студент знает ответ на вопрос),
• C(n, k) - количество комбинаций из n элементов, выбранных k раз (n - количество доступных вопросов, k - количество выбранных вопросов),
• p - вероятность успеха в одном испытании (в данном случае, студент знает ответ на вопрос),
• (1 - p) - вероятность неудачи в одном испытании (в данном случае, студент не знает ответ на вопрос),
• n - количество испытаний (в данном случае, количество выбранных вопросов).

В данной задаче у нас n = 6 (студент выбирает 6 вопросов), p = 20/30 (вероятность того, что студент знает ответ на вопрос), и нам нужно найти сумму вероятностей для k ≥ 4.

Давайте вычислим вероятность поочередно для каждого значения k ≥ 4 и сложим их, чтобы получить итоговую вероятность.

P(X = 4) = C(6, 4) * (20/30)^4 * (10/30)^2, P(X = 5) = C(6, 5) * (20/30)^5 * (10/30)^1, P(X = 6) = C(6, 6) * (20/30)^6 * (10/30)^0.

Теперь вычислим каждое из этих значений:

P(X = 4) = (6! / (4! * 2!)) * (20/30)^4 * (10/30)^2, P(X = 5) = (6! / (5! * 1!)) * (20/30)^5 * (10/30)^1, P(X = 6) = (6! / (6! * 0!)) * (20/30)^6 * (10/30)^0.

Вычислим факториалы и численные значения:

P(X = 4) = (15) * (20/30)^4 * (10/30)^2, P(X = 5) = (6) * (20/30)^5 * (10/30)^1, P(X = 6) = (1) * (20/30)^6 * (10/30)^0.

Теперь вычислим каждое из этих значений:

P(X = 4) = 15 * (2/3)^4 * (1/3)^2, P(X = 5) = 6 * (2/3)^5 * (1/3)^1, P(X = 6) = 1 * (2/3)^6 * (1/3)^0.

Теперь вычислим каждое из этих значений:

P(X = 4) = 15 * (16/81) * (1/9) = 240/729, P(X = 5) = 6 * (32/243) * (1/3) = 64/729, P(X = 6) = 1 * (64/729) * 1 = 64/729.

Итак, чтобы найти итоговую вероятность, мы должны сложить эти три значения:

P(X ≥ 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 240/729 + 64/729 + 64/729 = (240 + 64 + 64)/729 = 368/729 ≈ 0.504.

Итак, вероятность того, что студент знает ответы на не менее чем 4 вопроса из 6, составляет примерно 0.504 или около 50.4%.