Question

Найдите производную функции y=sinx * arccosx

Answer 1

$f(x)=sin(x)\cdot arccos(x)\\f'(x)=(sin(x))'\cdot arccos(x)+sin(x)\cdot (arccos(x))'\\f'(x)=cos(x)\cdot arccos(x)-\frac{sin(x)}{\sqrt{1-x^2}}$

Вывел формулу!

$f(x)=arccos(x)\Leftrightarrow cos(f(x))=x\\\frac{d}{dx}\begin{bmatrix}cos(f(x))\end{bmatrix}=\frac{d}{dx}x\Leftrightarrow -sin(f(x))\cdot f'(x)=1\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{1}{sin(f(x))}\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{1}{sin(arccos(x))}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow f'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Answer 2

Для нахождения производной функции y = sin(x) * arccos(x) воспользуемся правилом производной произведения двух функций. Правило гласит, что производная произведения двух функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную второй функции.

Пусть u = sin(x) и v = arccos(x), тогда y = u * v. Теперь найдем производные u' и v':

u' = d/dx(sin(x)) = cos(x) v' = d/dx(arccos(x))

Чтобы найти v', воспользуемся формулой производной обратной функции:

d/dx(arccos(x)) = -1 / sqrt(1 - x^2)

Теперь можем найти производную y':

y' = u' * v + u * v' y' = cos(x) * arccos(x) + sin(x) * (-1 / sqrt(1 - x^2)) y' = cos(x) * arccos(x) - sin(x) / sqrt(1 - x^2)

Таким образом, производная функции y = sin(x) * arccos(x) равна cos(x) * arccos(x) - sin(x) / sqrt(1 - x^2).