Question

Розв'яжіть нерівність f(x)<f(1), якщо f(x)=-x²+2x ​.

Answer 1

Ответ:(∞;1)∪(1;+∞)

Объяснение:

Т.к. f(х)= -х²+2х, то f(1)= -1²+2*1= -1+2=1, получим неравенство:

-х²+2х<1

-х²+2х-1 <0

х²-2х+1>0

(х-1)²>0

f(х)=(х-1)² -квадратичная функция, график -парабола, ветви-вверх.

(1;0) - координаты вершины параболы.

Если изобразить схематически график функции, то видно, что

f(х)>0 при х∈(∞;1)∪(1;+∞)

Ответ:(∞;1)∪(1;+∞)

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність f(x) < f(1), спочатку знайдемо значення f(1), а потім виконаємо порівняння.

Почнемо з обчислення f(1). Підставимо x = 1 у функцію f(x):

f(1) = -(1)² + 2(1) = -1 + 2 = 1

Отже, ми отримали, що f(1) = 1.

Тепер замінимо f(x) у нерівність:

f(x) < f(1) -x² + 2x < 1

Перенесемо всі члени в ліву частину:

-x² + 2x - 1 < 0

Тепер ми маємо квадратичну нерівність, яку можна розв'язати за допомогою факторизації, завдяки знаку менше ( < ) у нерівності.

Розкладемо ліву частину нерівності:

-(x - 1)(x - 1) < 0

На даному етапі ми отримали квадратичний фактор з повторними коренями (x - 1)(x - 1). Тепер нам потрібно визначити знак цього виразу, аби знайти область, в якій нерівність є виконаною.

Звідси ми бачимо, що обидва множники (x - 1) рівні нулю при x = 1. Тому x = 1 є коренем з кратністю 2.

Тепер розглянемо кожну зону між коренями та застосуємо тестування знаків, щоб визначити знаки кожної зони.

Зона 1: x < 1 Візьмемо x = 0 (зона 1/2), підставимо в вираз і перевіримо знак: -(0 - 1)(0 - 1) = -(-1)(-1) = -1 Таким чином, зона 1 задовольняє нерівність.

Зона 2: x > 1 Візьмемо x = 2 (зона 3/4), підставимо в вираз і перевіримо знак: -(2 - 1)(2 - 1) = -(1)(1) = -1 Зона 2 також задовольняє нерівність.

Отже, розв'язком нерівності f(x) < f(1) є інтервал значень x, для якого x < 1 або x > 1, тобто (-∞, 1) ∪ (1, +∞).