Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями а) y= -x/3 y=0 и x=3; б) y= 2-2x y=1-x^2 и x=0

Answer 1

/////////////////////////////////////

Answer 2

а) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = -x/3, y = 0 и x = 3, нужно найти площадь треугольника, образованного этими линиями.

1. Сначала найдем точки пересечения функций y = -x/3 и y = 0. Подставим y = 0 в уравнение первой функции и решим уравнение:

0 = -x/3 x = 0

Точка пересечения находится в начале координат (0, 0).

2. Теперь найдем точки пересечения функций y = -x/3 и x = 3. Подставим x = 3 в уравнение первой функции и решим уравнение:

y = -(3)/3 y = -1

Точка пересечения находится на высоте y = -1 и координате x = 3 (3, -1).

3. Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу площади треугольника: S = (1/2) * основание * высота.

Основание треугольника равно 3 - 0 = 3 (расстояние между точками пересечения на оси x). Высота треугольника равна |0 - (-1)| = 1 (расстояние между точками пересечения на оси y).

Таким образом, площадь фигуры равна S = (1/2) * 3 * 1 = 1.5.

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x/3, y = 0 и x = 3, равна 1.5.

б) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 2 - 2x, y = 1 - x^2 и x = 0, нужно найти площадь фигуры между этими кривыми и осью x.

1. Сначала найдем точки пересечения функций y = 2 - 2x и y = 1 - x^2. Приравняем функции друг к другу и решим уравнение:

2 - 2x = 1 - x^2

Перенесем все в левую часть уравнения:

x^2 - 2x + 1 = 0

Факторизуем уравнение:

(x - 1)(x - 1) = 0

Таким образом, у нас есть две точки пересечения (1, 1) и (1, 1).

2. Теперь мы можем найти площадь фигуры между кривыми и осью x, используя интеграл:

S = ∫(a, b) (верхняя функция - нижняя функция) dx

В данном случае, нижняя функция - y = 2 - 2x, а верхняя функция - y = 1 - x^2.

Интегрируя от x = 0 до x = 1, получим:

S = ∫(0, 1) [(1 - x^2) - (2 - 2x)] dx

Выполняя интегрирование, получаем:

S = ∫(0, 1) (3x - x^2 - 2) dx

S = [3/2 * x^2 - (1/3) * x^3 - 2x] (от 0 до 1)

S = [3/2 * (1)^2 - (1/3) * (1)^3 - 2(1)] - [3/2 * (0)^2 - (1/3) * (0)^3 - 2(0)]

S = [3/2 - 1/3 - 2] - [0 - 0 - 0]

S = 9/6 - 2/6 - 12/6

S = (9 - 2 - 12) / 6

S = -5 / 6

Ответ: Площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - 2x, y = 1 - x^2 и x = 0, равна -5/6.