Question

Докажите, что функция y=f(x) убывает на заданном промежутке: 1)f(x) = xlnx,(0;1/e);

Answer 1

D(f) = (0;+∞).

f'(x) = (xlnx)' = lnx + x * 1/x = lnx + 1 < 0

ln x < ln(1/e)

x < 1/e

С учетом x>0, получаем 0 < x < 1/e - на этом промежутке функция f убывает.

Answer 2

Для доказательства того, что функция y = f(x) = xln(x) убывает на заданном промежутке (0, 1/e), нужно показать, что производная функции отрицательна на этом промежутке.

Для этого вычислим производную функции f(x) по x и проверим знак производной:

f'(x) = (xln(x))' = ln(x) + x * (1/x) = ln(x) + 1.

Теперь подставим x из интервала (0, 1/e) в полученное выражение:

ln(x) + 1 < ln(1/e) + 1 = -1 + 1 = 0.

Значит, производная функции f(x) на интервале (0, 1/e) отрицательна. Так как производная отрицательна, это означает, что функция f(x) убывает на заданном промежутке.

Таким образом, доказано, что функция y = f(x) = xln(x) убывает на промежутке (0, 1/e).