Question

Знайдіть найменше значення виразу m^2+4n^2, якщо 3m-4n=13

Answer 1

$(m-2n)^{2} \geq 0\\m^{2}-4mn+4n^{2}\geq 0\\min: m^{2}-4mn+4n^{2}=0\\m^{2}+4n^{2}=4mn\\3m-4n=13 =>4n=3m-13\\n=\frac{3m-13}{4} \\m^{2}+4n^{2}=m(3m-13)=3m^{2}-13m\\m^{2}+4n*n=3m^{2}-13m\\m^{2}+\frac{(3m-13)^{2}}{4}-3m^{2}+13m=0\\4m^{2} +(3m-13)^{2}-12m^{2}+52m=0\\-8m^{2} +9m^{2}-78m+169+52m=0\\ m^{2}-26m+169=0\\ (m-13)*(m-13)=0 => m=13\\n=\frac{3m-13}{4}=\frac{3*13-13}{4}=\frac{26}{4}=\frac{13}{2} \\m^{2}+4n^{2} =13^{2}+4*(13/2)^{2} =2*169=338.$

Answer 2

Для знаходження найменшого значення виразу m^2 + 4n^2, використаємо дане рівняння 3m - 4n = 13, щоб виразити одну змінну через іншу і підставити її в данний вираз.

Запишемо дане рівняння у вигляді 3m = 4n + 13. Далі виразимо m через n, поділивши обидві частини на 3:

m = (4n + 13) / 3.

Тепер підставимо це значення m у вираз m^2 + 4n^2:

(4n + 13)^2/9 + 4n^2.

Розкриємо квадрат дужки:

(16n^2 + 104n + 169)/9 + 4n^2.

Розкриємо дужки:

(16n^2 + 104n + 169 + 36n^2)/9.

Спростимо вираз:

(52n^2 + 104n + 169)/9.

Тепер нам потрібно знайти найменше значення цього виразу. Для цього ми можемо застосувати поняття квадратичних функцій. Враховуючи те, що коефіцієнт при n^2 додатній, найменше значення виразу досягається, коли n має найменше можливе значення.

Оскільки n - це ціле число, ми можемо прийняти найменше значення n як -1. Підставимо це значення у вираз:

(52(-1)^2 + 104(-1) + 169)/9 = (52 + (-104) + 169)/9 = (117)/9 = 13.

Таким чином, найменше значення виразу m^2 + 4n^2 при 3m - 4n = 13 досягається, коли m = 5 і n = -1, і дорівнює 13.