Question

Знайдіть найменше значення виразу √6sinα–√2cosα. У відповідь напишіть найменше ціле значення виразу.

Answer 1

$a\sin \alpha \pm b \cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha \pm \varphi)$, где $\varphi =\arcsin\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ - формула дополнительного угла

$\sqrt{6}\sin\alpha-\sqrt{2}\cos \alpha=\sqrt{6+2}\sin\left(\alpha -\arcsin\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6+2}}\right)=2\sqrt{2}\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$

Оценим выражение с помощью двойного неравенства

$-1\leq \sin \left(\alpha -\frac{\pi}{6}\right)\leq 1\\ \\ -2\sqrt{2}\leq 2\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi}{6}\right)\leq 2\sqrt{2}$

Наименьшее значение выражения равно -2.

Answer 2

Для знаходження найменшого значення виразу √6sinα - √2cosα, ми можемо використовувати тригонометричні ідентичності та властивості синуса і косинуса.

Зверніть увагу, що √6 та √2 є позитивними константами. Ми можемо розділити вираз на √6 для спрощення:

√6sinα - √2cosα = √6(sinα - (√2/√6)cosα) = √6(sinα - (√3/√6)cosα)

Тепер ми можемо використовувати ідентичність sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ для α = α і β = π/6 (30 градусів):

sin(α - π/6) = sinαcos(π/6) - cosαsin(π/6) = (1/2)sinα - (√3/2)cosα

Зверніть увагу, що ми отримали доданок - (√3/2)cosα, який є більшим за наш вираз - (√3/√6)cosα.

Тепер ми можемо подати наш вираз як:

√6(sinα - (√3/2)cosα) > √6(sinα - (√3/√6)cosα) = √6sin(α - π/6)

Значення sin(α - π/6) може знаходитися в інтервалі від -1 до 1, і найменше ціле значення цього виразу -1 (досягається, коли α - π/6 дорівнює 3π/2, або 270 градусів).

Отже, найменше ціле значення виразу √6sinα - √2cosα дорівнює -√6.