Question

Упростить sin(α-β)+2cosα*sinβ / 2cosα*cosβ-cos(α)-β

Answer 1

Вот)
Надеюсь всё понятно

Answer 2

Для упрощения данного выражения, воспользуемся тригонометрическими тождествами, такими как формулы сложения для синуса и косинуса:

1. Формула сложения для синуса: \(\sin(a - b) = \sin a \cdot \cos b - \cos a \cdot \sin b\). 2. Формула сложения для косинуса: \(\cos(a - b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b\).

Давайте применим эти формулы:

Дано: \( \frac{\sin(α-β) + 2\cosα \cdot \sinβ}{2\cosα \cdot \cosβ - \cos(α-β)} \)

Используем формулу для синуса разности: \[ \sin(α-β) = \sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β \]

Теперь подставим это значение в числитель: \[ \frac{\sin α \cdot \cos β - \cos α \cdot \sin β + 2\cosα \cdot \sinβ}{2\cosα \cdot \cosβ - (\cos α \cdot \cos β + \sin α \cdot \sin β)} \]

Распишем числитель и знаменатель: \[ \frac{\sin α \cdot \cos β + \sin β \cdot (2\cos α - \cos α)}{2\cos α \cdot \cos β - \cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β} \]

Сокращаем подобные члены: \[ \frac{\sin α \cdot \cos β + 2\sin β \cdot \cos α}{\cos α \cdot \cos β - \sin α \cdot \sin β - \cos α \cdot \cos β} \]

Теперь упростим дальше: \[ \frac{\sin α \cdot \cos β + 2\sin β \cdot \cos α}{- \sin α \cdot \sin β} \]

Далее, вынесем минус из знаменателя и поменяем знаки в числителе: \[ -\frac{\sin α \cdot \cos β + 2\sin β \cdot \cos α}{\sin α \cdot \sin β} \]

Теперь вспомним, что \( \sin(-x) = -\sin x \): \[ -\frac{\sin α \cdot \cos β + 2\sin β \cdot \cos α}{\sin α \cdot \sin β} = -\frac{\sin(β - α) + 2\sin β \cdot \cos α}{\sin α \cdot \sin β} \]

Таким образом, упрощенный вид выражения равен: \[ -\frac{\sin(β - α) + 2\sin β \cdot \cos α}{\sin α \cdot \sin β} \]