Question

Множества. Доказать, что A\(A\B)=A пересечение В

Answer 1

Разность выражается через пересечение следующим образом:

$A\backslash B=A\cap\overline{B}$

Тогда:

$A\backslash (A\backslash B)=A\backslash\left(A\cap\overline{B}\right)=A\cap\left(\overline{A\cap\overline{B}}\right)=A\cap\left(\overline{A}\cup B\right)=\\=A\cap\overline{A}\cup A\cap B=\varnothing \cup A\cap B=A\cap B$

Answer 2

Давайте докажем данное утверждение математически.

Пусть A и B - произвольные множества.

Чтобы доказать равенство A(A\B) = A пересечение B, необходимо доказать включение в обе стороны:

1. Доказательство A(A\B) ⊆ A пересечение B:

Предположим, что x принадлежит множеству A(A\B). Это означает, что x принадлежит множеству A и одновременно не принадлежит множеству A\B. Так как x принадлежит множеству A, то x также принадлежит пересечению множеств A и B (т.е. A пересечение B), так как пересечение множеств содержит только элементы, принадлежащие обоим множествам. Таким образом, мы показали, что A(A\B) ⊆ A пересечение B.

2. Доказательство A пересечение B ⊆ A(A\B):

Предположим, что x принадлежит множеству A пересечение B. Это означает, что x принадлежит и множеству A, и множеству B. Так как x принадлежит множеству B, то x не принадлежит множеству A\B, так как A\B содержит только элементы, принадлежащие множеству A, но не принадлежащие множеству B. Таким образом, мы показали, что A пересечение B ⊆ A(A\B).

Таким образом, мы доказали обе включения: A(A\B) ⊆ A пересечение B и A пересечение B ⊆ A(A\B). Следовательно, A(A\B) = A пересечение B.

Это завершает доказательство.