Question

Решите сейчас! Даю 30 балов! Область значення функції E(f): f(x)=cosx/tgx.

Answer 1

f(x) = cos(x)/tg(x) = cos(x)/(sin(x)/cos(x)) = cos²(x)/sin(x) = (1 - sin²(x))/sin(x) =

= (1/sin(x)) - sin(x).

Область определения функции f(x): sin(x)≠0 и cos(x)≠0,

cos(x)≠0 ⇔ sin(x)≠±1 ⇔ sin(x) ≠ -1 и sin(x)≠ 1.

f(x) = (1/sin(x)) - sin(x),

sin(x) = t,

t∈(-1;0)∪(0;1).

f(x) = g(t) = (1/t) - t,

g'(t) =  - (1/t²) - 1 < 0,

функция g(t) убывающая.

при t→ -1, g(t) → g(-1) = -1+1 = 0.

при t → -0, g(t) → -∞,

при t → +0, g(t) → +∞,

при t → 1, g(t)→g(1) = 1-1 = 0.

Итак, область значений функции f(x) совпадает с областью значений функции g(t) при t∈(-1;0)∪(0;1), которая есть (-∞;0)∪(0;+∞).

Ответ. (-∞; 0)∪(0; +∞).

Answer 2

Область значень функції E(f) залежить від області визначення функції f(x). Оскільки f(x) = cos(x)/tg(x), спершу необхідно визначити область визначення цієї функції.

Функція tg(x) (тангенс) визначена для всіх значень x, для яких косинус x не дорівнює нулю. Косинус x дорівнює нулю при x = (2n + 1)π/2, де n - ціле число. Отже, ми повинні уникати цих значень x у знаменнику.

Отже, область визначення функції f(x) = cos(x)/tg(x) буде всі значення x, для яких x ≠ (2n + 1)π/2, де n - ціле число.

Тепер ми можемо визначити область значень функції E(f). Оскільки f(x) = cos(x)/tg(x), значення функції E(f) будуть дорівнювати значенням f(x) для всіх x з області визначення f(x).

Таким чином, область значень функції E(f) буде всі значення, які можна отримати застосуванням функції f(x) = cos(x)/tg(x) до всіх x з області визначення f(x), що ми обговорили вище.