Question

За якого найбільшого значення a функція y=xe^x є спадною на проміжку [a-5;a+3]?Пояснення​

Answer 1

$y = xe^{x}$

Знайдемо похідну функції $y:$

$y' = (xe^{x})' = (x)'e^{x} + x(e^{x})' = e^{x} + xe^{x} = e^{x}(1 + x)$

Знайдемо критичні точки функції $y$. Для цього прирівняємо похідну до нуля:

$e^{x}(1 + x) = 0\\1) \ e^{x} = 0; \ x \in \varnothing \\2) \ 1 + x = 0; \ x = -1$

Знайдемо проміжки зростання і спадання функції:

Маємо два проміжки: $x \in (-\infty ; -1) \cup (-1; + \infty)$

Знайдемо значення похідної на проміжку $x \in (-\infty ; -1):$

$y' < 0$, отже, функція $y = xe^{x}$ є спадною на цьому проміжку.

Знайдемо значення похідної на проміжку $x \in (-1; + \infty):$

$y' > 0$, отже, функція $y = xe^{x}$ є зростаючою на цьому проміжку.

Для того щоб знайти найбільше значення $a$ на проміжку $[a - 5; \ a + 3]$, прирівняємо критичну точку $x = -1$ і $a + 3$, тобто $a + 3 = -1; \ a = -4$

Відповідь: $a = -4$

Answer 2

Щоб функція y = xe^x була спадною на проміжку [a-5; a+3], перш за все, важливо зрозуміти, що ми маємо на увазі під "спадною". Функція є спадною на певному інтервалі, якщо її похідна (перша похідна) є від'ємною на цьому інтервалі.

Давайте знайдемо похідну функції y = xe^x. Для цього застосуємо правило диференціювання добутку функцій (произведение производных), яке гласить:

(d/dx)[u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x),

де u(x) = x, v(x) = e^x.

Отже, похідна y'(x) буде:

y'(x) = (d/dx)[x * e^x] = x * (d/dx)[e^x] + e^x * (d/dx)[x].

Тепер, знайдемо похідну e^x:

(d/dx)[e^x] = e^x.

Та похідну x:

(d/dx)[x] = 1.

Тепер підставимо знайдені значення в похідну функції y = xe^x:

y'(x) = x * e^x + e^x * 1 = (x + 1) * e^x.

Тепер, щоб з'ясувати, які значення x спричинять, що y = xe^x буде спадною на проміжку [a-5; a+3], ми маємо перевірити, коли похідна y'(x) менше за нуль на цьому проміжку:

y'(x) < 0.

(x + 1) * e^x < 0.

Тепер, пам'ятаємо, що експоненційна функція e^x завжди більше за нуль (e^x > 0) для всіх дійсних значень x, тобто e^x не може дорівнювати нулю.

Тому вираз (x + 1) * e^x буде менше за нуль тільки тоді, коли x + 1 < 0.

x + 1 < 0.

x < -1.

Таким чином, умова, за якої функція y = xe^x є спадною на проміжку [a-5; a+3], - це коли a-5 < -1 та a+3 < -1.

a-5 < -1:

a < -1 + 5,

a < 4.

a+3 < -1:

a < -1 - 3,

a < -4.

Таким чином, щоб функція y = xe^x була спадною на проміжку [a-5; a+3], потрібно, щоб значення a було менше за -4. Тобто найбільше значення a, при якому ця умова виконується, буде a = -5. Зауважте, що для a менше за -5 умова також буде виконана, але ми шукаємо найбільше значення a, для якого це вірно.