Question

Докажите неравенство4х²+9у²>12ху-0,1​

Answer 1

Ответ:

4х²+9y²>12xy-0.1

4х²+9y²-12xy>-0.1

(2x-3y)²>-0.1

квадрат всегда больше отрицательного числа

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, нам нужно провести некоторые математические преобразования. Давайте начнем:

4x² + 9y² > 12xy - 0.1

Перенесем все члены в левую часть неравенства:

4x² + 9y² - 12xy + 0.1 > 0

Теперь мы получили квадратичное уравнение относительно переменных x и y. Для простоты обозначим левую часть уравнения как функцию f(x, y):

f(x, y) = 4x² + 9y² - 12xy + 0.1

Наша задача состоит в том, чтобы показать, что f(x, y) > 0 для всех значений x и y.

Для доказательства этого факта, давайте воспользуемся методом дискриминантов. Рассмотрим квадратное уравнение:

D = (12y)² - 4(4)(9y² - 0.1)

Раскроем скобки:

D = 144y² - 4(4)(9y² - 0.1) D = 144y² - 4(36y² - 0.4) D = 144y² - (144y² - 1.6) D = 1.6

Дискриминант равен 1.6, и он положительный. Это означает, что квадратное уравнение 4x² + 9y² - 12xy + 0.1 = 0 имеет два вещественных корня, следовательно, график функции f(x, y) является эллипсом.

Теперь мы можем рассмотреть точку на этом эллипсе с наименьшим значением f(x, y). Мы можем заметить, что при x = 0 и y = 0 значение функции равно 0.1. Это означает, что все остальные точки на эллипсе будут иметь значение f(x, y) больше 0.1.

Таким образом, мы показали, что f(x, y) > 0 для всех значений x и y, что подтверждает исходное неравенство 4x² + 9y² > 12xy - 0.1.