Question

Упростите пожалуйста (a^1-n/b^n - b^1-n/a^n)^1/n * 1/a-b в корне из n

Answer 1

$\Big(\frac{a^{1-n}}{b^{n}}-\frac{b^{1-n}}{a^{n}}\Big)^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{a-b}=\Big(\frac{a^{1-n}\cdot a^{n}-b^{1-n}\cdot b^{n}}{a^{n}\cdot b^{n}}\Big)^{\frac{1}{n}}\cdot\frac{1}{a-b}=\\\\=\Big(\frac{a-b}{a^{n}\cdot b^{n}}\Big)^{\frac{1}{n}}\cdot \frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)^{\frac{1}{n}}}{ab}\cdot \frac{1}{a-b}=\frac{(a-b)^{\frac{1}{n}-1}}{ab}=\frac{(a-b)^{\frac{1-n}{n}}}{ab}$

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую часть выражения по отдельности и упростим его.

1. (a^1-n / b^n - b^1-n / a^n)^(1/n):

Для начала, заметим, что a^(1-n) = 1 / a^n и b^(1-n) = 1 / b^n. Теперь мы можем переписать данное выражение следующим образом:

(a^1-n / b^n - b^1-n / a^n)^(1/n) = ((1 / a^n) / b^n - (1 / b^n) / a^n)^(1/n)

Далее, вспомним, что (a / b)^(1/n) = (a^(1/n)) / (b^(1/n)). Применяя это свойство, мы можем переписать выражение следующим образом:

((1 / a^n) / b^n - (1 / b^n) / a^n)^(1/n) = ((1 / a^n)^(1/n) / (b^n)^(1/n) - (1 / b^n)^(1/n) / (a^n)^(1/n))

((1 / a^n)^(1/n) = 1 / (a^n)^(1/n) = 1 / a и ((1 / b^n)^(1/n) = 1 / (b^n)^(1/n) = 1 / b. Подставляя это обратно в выражение, получим:

((1 / a^n)^(1/n) / (b^n)^(1/n) - (1 / b^n)^(1/n) / (a^n)^(1/n)) = (1 / a - 1 / b)

Таким образом, выражение (a^1-n / b^n - b^1-n / a^n)^(1/n) упрощается до (1 / a - 1 / b).

2. 1 / (a - b) в корне из n:

Здесь мы можем применить свойство корня из n, где (1 / x)^(1/n) = 1 / (x^(1/n)). Применяя это свойство, мы можем переписать выражение следующим образом:

1 / (a - b)^(1/n) = (a - b)^(-1/n)

Итак, после упрощения, выражение (a^1-n / b^n - b^1-n / a^n)^(1/n) * 1 / (a - b) в корне из n упрощается до (1 / a - 1 / b) * (a - b)^(-1/n).