Question

Докажите, что при любом натуральном значении n, выражения (n+2)2-(n-2)2 делится на 8

Answer 1

(n+2)2-n(n-2)2 = 2n +4 -(2n -4) = 2n +4 -2n +4 = 4+4 = 8

то есть, значение n вообще не влияет на значение выражения и оно всегда будет равно 8

Answer 2

Давайте разложим выражение (n+2)^2 - (n-2)^2 на множители и упростим его:

(n+2)^2 - (n-2)^2 = (n^2 + 4n + 4) - (n^2 - 4n + 4) = n^2 + 4n + 4 - n^2 + 4n - 4 = 8n

Мы видим, что выражение (n+2)^2 - (n-2)^2 упрощается до 8n. Теперь докажем, что 8n делится на 8 для любого натурального значения n.

Мы знаем, что деление числа a на 8 эквивалентно тому, что a имеет остаток 0 при делении на 8. Давайте рассмотрим возможные значения остатков для числа n при делении на 8:

n ≡ 0 (mod 8) n ≡ 1 (mod 8) n ≡ 2 (mod 8) n ≡ 3 (mod 8) n ≡ 4 (mod 8) n ≡ 5 (mod 8) n ≡ 6 (mod 8) n ≡ 7 (mod 8)

Подставим эти значения в выражение 8n и проверим остаток:

8n ≡ 8(0) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(1) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(2) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(3) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(4) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(5) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(6) ≡ 0 (mod 8) 8n ≡ 8(7) ≡ 0 (mod 8)

Во всех случаях мы получаем остаток 0 при делении 8n на 8. Это означает, что 8n делится на 8 для любого натурального значения n.

Таким образом, мы доказали, что выражение (n+2)^2 - (n-2)^2 делится на 8 при любом натуральном значении n.