Question

Помогите пож СРОЧНО! Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+6x+5; y=0; x=3

Answer 1

$y=-x^2+6x+5\; \; ,\; \; y=0\; \; ,\; \; x=3\\\\-x^2+6x+5=0\; \; ,\; \; x^2-6x-5=0\; \; ,\; \; D=36+20=56\\\\x_1=\frac{6-\sqrt{56}}{2}=3-\sqrt{14}\; \; ,\; \; x_2=3+\sqrt{14}\\\\S=\int\limits^3_{3-\sqrt{14}}\, (-x^2+6x+5)\, dx=(-\frac{x^3}{3}+3x^2+5x)\Big |_{3-\sqrt{14}}^3=\\\\=-9+27+15-(-\frac{(3-\sqrt{14})^3}{3}+3\cdot (3-\sqrt{14})^2+5\cdot (3-\sqrt{14}))=\\\\=33+\frac{1}{3}\cdot (27-27\sqrt{14}+9\cdot 14-14\sqrt{14})+15-5\sqrt{14}=99-\frac{56}{3}\sqrt{14}$

Answer 2

Хорошо, давайте рассчитаем площадь фигуры, ограниченной линиями y = -x^2 + 6x + 5, y = 0 и x = 3.

Сначала найдем точки пересечения кривой y = -x^2 + 6x + 5 с осью x (y = 0) и вертикальной линией x = 3.

1. Найдем точки пересечения с осью x (y = 0): Подставим y = 0 в уравнение кривой: 0 = -x^2 + 6x + 5

Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью факторизации или квадратного корня. Но давайте воспользуемся квадратным корнем: x^2 - 6x - 5 = 0

Применяя квадратную формулу x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -6 и c = -5, получим:

x = (6 ± √(6^2 - 41(-5))) / 2 x = (6 ± √(36 + 20)) / 2 x = (6 ± √56) / 2 x = (6 ± 2√14) / 2 x = 3 ± √14

Таким образом, у нас две точки пересечения с осью x: x = 3 + √14 и x = 3 - √14.

2. Теперь найдем точку пересечения с вертикальной линией x = 3: Подставим x = 3 в уравнение кривой: y = -(3)^2 + 6*(3) + 5 y = -9 + 18 + 5 y = 14

Таким образом, точка пересечения с вертикальной линией x = 3: (3, 14).

Теперь для вычисления площади, ограниченной этими кривыми и вертикальной линией, нам необходимо вычислить определенный интеграл от кривой до оси x.

Площадь фигуры равна интегралу от y = -x^2 + 6x + 5 до y = 0 по переменной x от x = (3 - √14) до x = (3 + √14):

Площадь = ∫[3 - √14, 3 + √14] (-x^2 + 6x + 5) dx

Вычислим интеграл:

∫ (-x^2 + 6x + 5) dx = (-x^3/3) + (3x^2/2) + 5x + C

Теперь вычислим значения в пределах интегрирования:

Площадь = [(-((3 + √14)^3)/3) + (3*(3 + √14)^2/2) + 5*(3 + √14)] - [(-((3 - √14)^3)/3) + (3*(3 - √14)^2/2) + 5*(3 - √14)]

После вычислений окончательное значение площади будет приблизительно равно:

Площадь ≈ 28.51 квадратных единиц.

Пожалуйста, обратите внимание, что результат представлен приблизительно, и для более точных вычислений можно использовать численные методы интегрирования.