Question

Знайдіть площу фігури,обмеженої лініями y=x^2-3;y=2x​

Answer 1

Ответ:

...,......,....................

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої двома кривими, необхідно визначити перетинні точки цих кривих та обчислити інтеграл функції, що описує різницю між цими кривими, знаходячи площу між ними. Після знаходження області між кривими, потрібно обчислити модуль цього значення, оскільки фігура може розташовуватись як зверху, так і знизу від осі x.

1. Спочатку знайдемо точки перетину кривих: Поставимо рівняння двох кривих у рівність одне одного: x^2 - 3 = 2x

Перенесемо все у ліву частину: x^2 - 2x - 3 = 0

Знайдемо корені цього квадратного рівняння. Відомо, що дискримінант D квадратного рівняння ax^2 + bx + c = 0 визначається як D = b^2 - 4ac.

Таким чином, D = (-2)^2 - 41(-3) = 4 + 12 = 16.

Корені знайдемо з формули x = (-b ± √D) / (2a): x = (2 ± √16) / 2 x = (2 ± 4) / 2 x1 = 3 і x2 = -1.

Таким чином, криві перетинаються у точках (3, 6) і (-1, -2).

2. Обчислимо інтеграл від різниці кривих за допомогою відповідних меж: Площа фігури буде: Площа = |∫(нижня межа, верхня межа) (y2 - y1) dx|, де y2 - це друга крива, а y1 - перша.

Площа = |∫(-1, 3) ((2x) - (x^2 - 3)) dx|

Обчислімо цей інтеграл: Площа = |∫(-1, 3) (2x - x^2 + 3) dx|

Проведемо інтегрування: Площа = |[x^2 - (x^3 / 3) + 3x](-1, 3)|

Площа = |[(3)^2 - ((3)^3 / 3) + 3(3)] - [((-1)^2 - ((-1)^3 / 3) + 3(-1))]|

Площа = |[9 - 9 + 9] - [(1 - (-1/3) - 3)]|

Площа = |[9] - [(1 + 1/3 - 3)]|

Площа = |9 - [1/3]|

Площа = |26/3|

Врешті-решт, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 - 3 та y = 2x, дорівнює 26/3 квадратних одиниць.