Question

Сумма квадратов двух целых чисел тоже является полным квадратив.Доведить что хотя бы одно из этих чисел делятся на 3​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

N^2+M^2=L^2 (*)

Пусть

N=3K+1

M=3J+1

L^2=9*(J^2+K^2)+6*(J+K)+2

Допустим  J и  K оба четные или оба нечетные. Тогда противоречие очевидно -слева число должно делиться на 4 , а справа не делится.

То же рассуждение проходит и для M=3J-1. Значит одно из чисел обязательно четное, другое нечетное. Но то же можно, стало быть , сказать и про М и Н. Но умножив оба таких числа на 2 мы не наруши свойство (*). Значит мы пришли к противоречию.

Answer 2

Допустим, у нас есть два целых числа a и b, и их сумма квадратов является полным квадратом. Формулируем задачу следующим образом:

Пусть у нас есть a и b, и их квадраты соответственно a^2 и b^2, так что:

a^2 + b^2 = c^2, где c - целое число.

Мы хотим доказать, что хотя бы одно из чисел a или b делится на 3.

Для решения этой задачи, рассмотрим все возможные остатки целых чисел при делении на 3:

1. Числа, дающие остаток 0 при делении на 3: 3, 6, 9, 12, ...
2. Числа, дающие остаток 1 при делении на 3: 1, 4, 7, 10, ...
3. Числа, дающие остаток 2 при делении на 3: 2, 5, 8, 11, ...

Рассмотрим все возможные комбинации остатков для a и b:

• a и b имеют остаток 0: a = 3k, b = 3m, где k и m - целые числа. В таком случае a^2 и b^2 также будут делиться на 9, и их сумма a^2 + b^2 также будет делиться на 9.

• a и b имеют остаток 1: a = 3k + 1, b = 3m + 1, где k и m - целые числа. В этом случае a^2 и b^2 имеют остаток 1 при делении на 3, а их сумма a^2 + b^2 имеет остаток 2 при делении на 3.

• a и b имеют остаток 2: a = 3k + 2, b = 3m + 2, где k и m - целые числа. В этом случае a^2 и b^2 имеют остаток 1 при делении на 3, а их сумма a^2 + b^2 имеет остаток 2 при делении на 3.

Из всех возможных комбинаций остатков видно, что только если хотя бы одно из чисел a или b делится на 3, то сумма их квадратов a^2 + b^2 может давать остаток 0 при делении на 3 (первый случай). В остальных случаях, сумма квадратов не будет делиться на 3.

Таким образом, хотя бы одно из чисел a или b должно делиться на 3.