Question

4(3m-5n)^2-16(2m-n)^2 на множники та довести,що його значення ділиться на 28 за будь-яких цілих значень m і n​

Answer 1

$4(3m-5n)^2-16(2m-n)^2=4((3m-5n)^2-4(2m-n)^2)=4(3m-5n-2(2m-n))(3m-5n+2(2m-n))=4(3m-5n-4m+2n)(3m-5n+4m-2n)=4(-m-3n)(7n-7n)=-4\cdot(m+3n)7(m-n)=-28(m+3n)(m-n).$

Так как один из множителей - число 28, то значение выражения при любых целых m и n делится на 28, что и требовалось доказать.

Answer 2

Щоб розкрити вираз та знайти його множники, спочатку розглянемо квадрати в скобках:

(3m - 5n)^2 = (3m - 5n) * (3m - 5n) = 9m^2 - 15mn - 15mn + 25n^2 = 9m^2 - 30mn + 25n^2

(2m - n)^2 = (2m - n) * (2m - n) = 4m^2 - 2mn - 2mn + n^2 = 4m^2 - 4mn + n^2

Тепер підставимо отримані значення у вихідний вираз:

4(3m - 5n)^2 - 16(2m - n)^2 = 4(9m^2 - 30mn + 25n^2) - 16(4m^2 - 4mn + n^2)

Розкриваємо дужки:

= 36m^2 - 120mn + 100n^2 - 64m^2 + 64mn - 16n^2

Згрупуємо подібні члени:

= (36m^2 - 64m^2) + (-120mn + 64mn) + (100n^2 - 16n^2)

= -28m^2 - 56mn + 84n^2

Тепер ми маємо вираз, який був отриманий від вихідного після розкриття дужок. Тепер доведемо, що цей вираз ділиться на 28 за будь-яких цілих значень m і n.

Для того, щоб довести, що вираз ділиться на 28, ми маємо показати, що він ділиться на 4 і на 7, оскільки 28 = 4 * 7.

1. Доведення дільності на 4: Вираз -28m^2 - 56mn + 84n^2 містить дві члени -28m^2 та -56mn, кожен з яких містить множник 4 (перший множник -28 має множник 4, а другий множник -56 має множник 4). Таким чином, ці два члени разом дають множник 4. Відповідно, весь вираз містить множник 4 і, отже, ділиться на 4.

2. Доведення дільності на 7: Вираз -28m^2 - 56mn + 84n^2 містить члень -56mn, який містить множник 7 (оскільки -56 = -7 * 8). Таким чином, весь вираз містить множник 7 і, отже, ділиться на 7.

Оскільки весь вираз ділиться як на 4, так і на 7, то він ділиться і на їх добуток 28 за будь-яких цілих значень m і n.