Question

Найдите предел выраженияlim sinx-sin5x/sin2xx---->0

Answer 1

Ответ: во вложении Объяснение:

Answer 2

Для нахождения предела данного выражения при x стремящемся к нулю, можно воспользоваться правилом Лопиталя (или правилом де Лопиталя). Это правило применяется для вычисления пределов некоторых неопределенных форм вида 0/0 или бесконечность/бесконечность.

Первым шагом вычислим производные числителя и знаменателя выражения:

При x -> 0: sin(x) -> 0, sin(5x) -> 0, sin(2x) -> 0.

Теперь возьмем производные:

d/dx (sin(x)) = cos(x), d/dx (sin(5x)) = 5cos(5x), d/dx (sin(2x)) = 2cos(2x).

Теперь заменим x на 0 в этих производных:

cos(0) = 1, 5cos(0) = 5, 2cos(0) = 2.

Теперь подставим полученные значения в формулу для правила Лопиталя:

lim (x -> 0) [(sin(x) - sin(5x)) / (sin(2x) / x)] = lim (x -> 0) [(cos(x) - 5cos(5x)) / (2cos(2x) / 1)].

При x -> 0: cos(x) -> cos(0) = 1, 5cos(5x) -> 5cos(0) = 5, 2cos(2x) -> 2cos(0) = 2.

Теперь вычислим предел:

lim (x -> 0) [(cos(x) - 5cos(5x)) / (2cos(2x) / 1)] = (1 - 5) / (2 / 1) = -4.

Таким образом, предел данного выражения при x стремящемся к нулю равен -4.