Question

Решите, пожалуйста. Желательно с объяснениями. cos²(3π/2+a)/tg²(a-2π)+cos²(π-a)/tg²(a-3π/2)

Answer 1

$\frac{Cos^{2}(\frac{3\pi }{2}+\alpha)}{tg^{2}(\alpha-2\pi)}+\frac{Cos^{2}(\pi-\alpha)}{tg^{2}(\alpha-\frac{3\pi }{2})}=\frac{Sin^{2}\alpha}{tg^{2}\alpha}+\frac{Cos^{2}\alpha }{Ctg^{2}\alpha}=\frac{Sin^{2}\alpha}{\frac{Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha}}+\frac{Cos^{2}\alpha}{\frac{Cos^{2}\alpha}{Sin^{2}\alpha}}=\frac{Sin^{2}\alpha*Cos^{2}\alpha}{Sin^{2}\alpha}+\frac{Cos^{2}\alpha*Sin^{2}\alpha}{Cos^{2}\alpha}=Cos^{2}\alpha+Sin^{2}\alpha=1$

Answer 2

Для решения этого выражения, начнем с упрощения каждого из слагаемых. Для этого воспользуемся тригонометрическими тождествами:

1. Тригонометрические тождества:
   • $cos(3\pi/2 + a) = -sin(a)$
   • $cos(\pi - a) = -cos(a)$
   • $tg(a) = \frac{sin(a)}{cos(a)}$

Теперь посчитаем каждое из слагаемых отдельно:

1. $\frac{cos^2(3\pi/2 + a)}{tg^2(a - 2\pi)}$:

   • $cos^2(3\pi/2 + a) = (-sin(a))^2 = sin^2(a)$
   • $tg(a - 2\pi) = \frac{sin(a - 2\pi)}{cos(a - 2\pi)}$

   Но $sin(a - 2\pi) = sin(a)$ и $cos(a - 2\pi) = cos(a)$, так как тригонометрические функции имеют период $2\pi$.

   Таким образом, $\frac{cos^2(3\pi/2 + a)}{tg^2(a - 2\pi)} = \frac{sin^2(a)}{\frac{sin^2(a)}{cos^2(a)}} = cos^2(a)$

2. $\frac{cos^2(\pi - a)}{tg^2(a - 3\pi/2)}$:

   • $cos^2(\pi - a) = (-cos(a))^2 = cos^2(a)$
   • $tg(a - 3\pi/2) = \frac{sin(a - 3\pi/2)}{cos(a - 3\pi/2)}$

   Аналогично предыдущему случаю, $sin(a - 3\pi/2) = -cos(a)$ и $cos(a - 3\pi/2) = -sin(a)$, так как функции также имеют период $2\pi$.

   Таким образом, $\frac{cos^2(\pi - a)}{tg^2(a - 3\pi/2)} = \frac{cos^2(a)}{\frac{(-cos(a))^2}{(-sin(a))^2}} = cos^2(a)$

Теперь сложим оба упрощенных слагаемых:

$cos^2(a) + cos^2(a) = 2cos^2(a)$

Итак, ответ: $2cos^2(a)$