Question

вычислить объем тела полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции ограниченной линиями y=2x+4 y=0 x=1 x=4

Answer 1

$y=2x+4\; \; ,\; \; y=0\; ,\; \; x=1\; ,\; x=4\\\\V=\pi \int\limits^a_b\, y^2(x)\, dx=\pi \int\limits^4_1\, (2x+4)^2\, dx=\pi \cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{(2x+4)^3}{3}\Big |_1^4=\\\\=\frac{\pi}{6}\cdot (12^3-6^3)=\frac{1512\cdot \pi }{6}=252\, \pi$

Answer 2

Чтобы вычислить объем тела, полученного вращением криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод заключается в том, что мы разбиваем криволинейную трапецию на бесконечно маленькие вертикальные полоски, вращаем каждую из них вокруг оси абсцисс и затем суммируем объемы всех цилиндрических оболочек.

Для этого, сначала, найдем уравнение кривой, образующей криволинейную трапецию.

Из условия задачи, мы имеем следующие точки:

1. Пересечение с осью ординат (y=0): x=1 и x=4
2. Точка, в которой прямая y=2x+4 пересекает ось ординат (x=0): y=4

Теперь найдем уравнение прямой, заданной точками (x1, y1) и (x2, y2):

Уравнение прямой: y = mx + b, где m - наклон (коэффициент наклона), b - точка пересечения с осью ординат (y-интерсепт).

Наклон прямой m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Точки (x1, y1) и (x2, y2) - это (1, 0) и (4, 2*4 + 4) соответственно:

m = (2*4 + 4 - 0) / (4 - 1) m = 12 / 3 m = 4

Теперь, используя точку (x=0, y=4) и найденный наклон, найдем точку пересечения с осью ординат (y-интерсепт):

y = mx + b 4 = 4 * 0 + b b = 4

Таким образом, уравнение кривой, образующей криволинейную трапецию:

y = 4 + 4x

Теперь мы можем найти дифференциальный объем dV цилиндрической оболочки с радиусом x и высотой dy:

dV = π * x^2 * dy

А чтобы найти dy, нужно выразить y через x:

y = 4 + 4x

dy = dy/dx * dx

dy/dx = 4

Теперь можем проинтегрировать для вычисления объема V:

V = ∫[от 0 до 4] (π * x^2 * dy) V = ∫[от 0 до 4] (π * x^2 * 4) dx V = 4π ∫[от 0 до 4] (x^2) dx

V = 4π * [x^3/3] |[от 0 до 4] V = 4π * (4^3/3 - 0^3/3) V = 4π * (64/3) V = 256π/3

Ответ: объем тела, полученного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=2x+4, y=0, x=1, x=4, равен (256π/3) кубических единиц (кубических у.е.).