Question

На множестве комплексных чисел решить уравнение: 8i-z³=0

Answer 1

$z=a+bi=>z^3=a^3+3a^2bi-3ab^2-b^3i=(a^3-3ab^2)+i(3a^2b-b^3)\\ (a^3-3ab^2)+i(3a^2b-b^3)=8i=>\left \{ {{a^3-3ab^2=0} \atop {3a^2b-b^3=8}} \right. =>\left \{ {{a(a^2-3b^2)=0} \atop {3a^2b-b^3=8}} \right.\\ (1)\;a=0=>-b^3=8=>b=-2\\ (2)\;a^2=3b^2=>3*3b^2*b-b^3=8=>b^3=1=>b=1=>a^2=3=>a=\pm\sqrt3\\ \fbox{OTBET:}\;\; z=-2i, z=\pm\sqrt3+i$

Answer 2

Для решения данного уравнения, необходимо найти комплексные числа z, которые удовлетворяют уравнению 8i - z³ = 0.

Для этого, перенесем -z³ на левую сторону уравнения:

z³ = 8i

Теперь, найдем кубический корень из обеих сторон уравнения:

z = ∛(8i)

Кубический корень из 8i можно найти в тригонометрической форме комплексного числа. Для этого, представим 8i в полярной форме:

8i = 8 * (cos(π/2) + i * sin(π/2))

Теперь найдем кубический корень из 8i, разделив аргумент на 3 и уменьшив модуль в 3 раза:

z = 2 * (cos(π/6) + i * sin(π/6))

Таким образом, комплексные числа z, которые удовлетворяют уравнению 8i - z³ = 0, представлены в виде:

z = 2 * (cos(π/6) + i * sin(π/6))

Также можно записать результат в алгебраической форме:

z = 2 * cos(π/6) + 2i * sin(π/6)

Или примерно в десятичном виде:

z ≈ 1 + 1.732i

Где π (пи) - это число Пи, приближенное значение которого 3.14159..., и cos(π/6) ≈ 0.866 и sin(π/6) ≈ 0.5.