Question

В множестве комплексных чисел решить квадратное уравнение и записать ответ в тригонометрическом виде. X^2-2x+4=0

Answer 1

$x^2-2x+4=0$
$D=(-2)^2-4*1*4=4-16=-12$
$x_{1,2}=\frac{2^+_-\sqrt{12}*i}{2*1}=1^+_-\sqrt{3}*i$
$x_1=1+\sqrt{3}*i$
$|x_1|=\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$
$cos \phi=\frac{1}{2}; sin \pfi=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\phi=\frac{\pi}{3}$
$x_1=2(cos (\frac{\pi}{3})+sin (\frac{\pi}{3})*i)$
---------
$x_2=1-\sqrt{3}*i$
$|x_2|=\sqrt{1^2+(-\sqrt{3})^2}=2$
$cos \Phi=\frac{1}{2}; sin \Phi=\frac{-\sqrt{3}}{2}$
$\Phi=\frac{-\pi}{3}$
$x_2=2(cos(\frac{-\pi}{3})+sin(\frac{-\pi}{3})*i)$

Answer 2

Для решения квадратного уравнения вида x^2 - 2x + 4 = 0 в множестве комплексных чисел, мы можем использовать квадратное уравнение в общей форме: ax^2 + bx + c = 0, где a = 1, b = -2 и c = 4.

Решение квадратного уравнения

Для начала, мы можем использовать формулу дискриминанта, чтобы определить, есть ли уравнение действительные корни или комплексные корни:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

В нашем случае:

D = (-2)^2 - 4 * 1 * 4 = 4 - 16 = -12

Поскольку дискриминант отрицательный (-12 < 0), уравнение имеет комплексные корни.

Нахождение корней

Чтобы найти корни квадратного уравнения, мы можем использовать формулу:

x = (-b ± √D) / (2a)

В нашем случае:

x = (-(-2) ± √(-12)) / (2 * 1) = (2 ± √12i) / 2 = 1 ± √3i

Таким образом, корни уравнения x^2 - 2x + 4 = 0 в тригонометрической форме будут:

x = 1 + √3i и x = 1 - √3i

Обратите внимание, что √3i - это комплексное число, которое можно представить в тригонометрической форме как r(cosθ + isinθ), где r = √(a^2 + b^2) и θ = arctan(b/a).

Представление корней в тригонометрической форме

Давайте выразим корни в тригонометрической форме:

x = 1 + √3i

Для нахождения r и θ, мы можем использовать следующие формулы:

r = √(a^2 + b^2) θ = arctan(b/a)

В нашем случае:

a = 1, b = √3

r = √(1^2 + (√3)^2) = √(1 + 3) = 2

θ = arctan(√3/1) = π/3

Таким образом, корень x = 1 + √3i можно записать в тригонометрической форме как:

x = 2(cos(π/3) + isin(π/3))

Аналогично, для корня x = 1 - √3i:

a = 1, b = -√3

r = √(1^2 + (-√3)^2) = √(1 + 3) = 2

θ = arctan(-√3/1) = -π/3

Таким образом, корень x = 1 - √3i можно записать в тригонометрической форме как:

x = 2(cos(-π/3) + isin(-π/3))

Таким образом, ответ на ваше уравнение x^2 - 2x + 4 = 0 в тригонометрической форме будет:

x = 2(cos(π/3) + isin(π/3)) и x = 2(cos(-π/3) + isin(-π/3))