Question

Найдите наименьшее значение функции у=2/х - х^2 на отрезке [-2;-1/2]

Answer 1

Дана функция:

$y = \frac{2}{x} - {x}^{2}$

Найдём её производную:

$y' = ( \frac{2}{x} )' - ( {x}^{2} )' \\ y' = - \frac{2}{ {x}^{2} } - 2x$

Приравниваем производную к нулю чтобы найти экстремумы функции:

$- \frac{2}{ {x}^{2} } - 2x = 0, \: x≠0 \\ - 2( \frac{1}{ {x}^{2}} + x) = 0 \\ \frac{ {x}^{3} + 1}{ {x}^{2} } = 0 \\ {x}^{3} = - 1 \\ x = - 1$

Это число входит в наш промежуток [-2;-1/2], поэтому это и есть наименьшее значение данной функции.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции у=2/x - x^2 на отрезке [-2;-1/2], мы должны найти точку, где производная функции равна нулю или не существует. Затем проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка, чтобы найти наименьшее значение.

1. Найдем производную функции: у' = d(2/x - x^2)/dx

   Применим правила дифференцирования для каждого члена: у' = (d(2/x)/dx) - (d(x^2)/dx) = (-2/x^2) - 2x

2. Решим уравнение у' = 0 для поиска точек экстремума: (-2/x^2) - 2x = 0

   Домножим оба члена на x^2, чтобы избавиться от знаменателя: -2 - 2x^3 = 0

   Перенесем -2 на другую сторону: -2x^3 = 2

   Разделим обе части на -2: x^3 = -1

   Возведем обе части в степень 1/3: x = -1

3. Проверим значения функции в найденных точках и на концах отрезка: -2, -1/2, -1

   Подставим x = -2: у = 2/(-2) - (-2)^2 = -1 - 4 = -5

   Подставим x = -1/2: у = 2/(-1/2) - (-1/2)^2 = -4 - 1/4 = -17/4

   Подставим x = -1: у = 2/(-1) - (-1)^2 = -2 - 1 = -3

4. Наименьшее значение функции на отрезке [-2;-1/2] равно -17/4.

Таким образом, наименьшее значение функции у=2/x - x^2 на отрезке [-2;-1/2] равно -17/4.