Question

Докажите, что значение выражения 141^3 + 59^3 делится на 200

Answer 1

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

141³ + 59³ = (141 + 59)(141² - 59*141 + 59²) = 200*(141² - 59*141 + 59²)

если в произведении один из множителей кратен 200, то и все произведении кратно 200

Answer 2

Для доказательства того, что значение выражения $141^3 + 59^3$ делится на 200, мы можем воспользоваться свойствами арифметики и модульной арифметики.

Обозначим данное выражение как $X = 141^3 + 59^3$. Теперь давайте воспользуемся некоторыми свойствами деления и сравнений:

1. Свойство: Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, тогда $a + c \equiv b + d \pmod{m}$.
2. Свойство: Если $a \equiv b \pmod{m}$ и $c \equiv d \pmod{m}$, тогда $a \cdot c \equiv b \cdot d \pmod{m}$.
3. Свойство: Если $a \equiv b \pmod{m}$, тогда $a^n \equiv b^n \pmod{m}$ для любого положительного целого числа $n$.

Теперь вычислим значения $141^3$ и $59^3$ по модулю 200:

$141^3 \equiv (-59)^3 \pmod{200}$ (так как $141 \equiv -59 \pmod{200}$)

Теперь вычислим $X$ по модулю 200, используя свойство 1:

$X \equiv 141^3 + 59^3 \equiv (-59)^3 + 59^3 \pmod{200}$

Теперь применим свойство 2:

$X \equiv (-59)^3 + 59^3 \equiv (-59 + 59)(-59^2 + 59 \cdot (-59) + 59^2) \pmod{200}$

Так как $(-59 + 59) = 0$, то:

$X \equiv 0 \pmod{200}$

Это означает, что $X$ делится на 200 без остатка. Таким образом, значение выражения $141^3 + 59^3$ действительно делится на 200.