Question

Решите неравенство |2х²+5х-7|>3(х-1)

Answer 1

Смотри..........................

Answer 2

Для решения данного неравенства, нужно разбить его на два случая, так как абсолютное значение может быть положительным или отрицательным:

1. Пусть выражение внутри модуля (2х²+5х-7) положительно (т.е. |2х²+5х-7| = 2х²+5х-7): Тогда неравенство становится: 2х² + 5х - 7 > 3(х - 1)

   Распишем скобку справа: 2х² + 5х - 7 > 3х - 3

   Перенесем все члены влево: 2х² + 5х - 3х - 7 + 3 > 0

   Упростим: 2х² + 2х - 4 > 0

   Теперь нужно решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения 2х² + 2х - 4 = 0: Дискриминант (D) = b² - 4ac = 2² - 42(-4) = 4 + 32 = 36 Корни: х₁ = (-b + √D) / 2a = (-2 + √36) / 4 = (2 + 6) / 4 = 8 / 4 = 2 х₂ = (-b - √D) / 2a = (-2 - √36) / 4 = (2 - 6) / 4 = -4 / 4 = -1

   Получили два корня: x₁ = 2 и x₂ = -1.

   Теперь построим знаки на интервалах:

   x < -1: (-) * (-) - (-) = - + + = - -1 < x < 2: (-) * (+) - (-) = + + + = + x > 2: (+) * (+) - (+) = + - + = -

   Таким образом, неравенство 2х² + 2х - 4 > 0 выполняется для -1 < x < 2.

2. Пусть выражение внутри модуля (2х²+5х-7) отрицательно (т.е. |2х²+5х-7| = -(2х²+5х-7)): Тогда неравенство становится: -(2х² + 5х - 7) > 3(х - 1)

   Распишем скобку справа: -(2х² + 5х - 7) > 3х - 3

   Умножим обе части на -1 (инвертируем знаки): 2х² + 5х - 7 < -3х + 3

   Перенесем все члены влево: 2х² + 5х + 3х - 7 - 3 < 0

   Упростим: 2х² + 8х - 10 < 0

   Теперь нужно решить квадратное неравенство. Для этого найдем корни уравнения 2х² + 8х - 10 = 0: Дискриминант (D) = b² - 4ac = 8² - 42(-10) = 64 + 80 = 144 Корни: х₁ = (-b + √D) / 2a = (-8 + √144) / 4 = (8 + 12) / 4 = 20 / 4 = 5 х₂ = (-b - √D) / 2a = (-8 - √144) / 4 = (8 - 12) / 4 = -4 / 4 = -1

   Получили два корня: x₁ = 5 и x₂ = -1.

   Теперь построим знаки на интервалах:

   x < -1: (-) * (-) - (+) = + + - = - -1 < x < 5: (-) * (+) - (+) = - + - = - x > 5: (+) * (+) - (-) = + - + = +

   Таким образом, неравенство 2х² + 8х - 10 < 0 выполняется для x < -1 и для x > 5.

Теперь объединим результаты из обоих случаев:

-1 < x < 2, x < -1, x > 5

Ответ: x принадлежит объединению интервалов (-бесконечность, -1) и (2, +бесконечность).