Question

Найдите корни уравнения 6sin^2x=5-2sin2x​

Answer 1

$\displaystyle 6sin^2x=5-2sin2x\\\\6sin^2x+2sin2x-5=0\\\\6sin^2x+4sinx*cosx-5(sin^2x+cos^2x)=0\\\\sin^2x+4sinx*cosx-5cos^2x=0| :cos^2x\neq 0\\\\tg^2x+4tgx-5=0\\\\D=16+20=36\\\\tgx=1; tgx=-5\\\\x=\frac{\pi}{4}+\pi n; n\in Z\\\\x=arctg(-5)+\pi n; n\in Z$

Answer 2

Давайте решим уравнение 6sin^2x = 5 - 2sin2x шаг за шагом.

1. Приведем уравнение к виду, содержащему одну тригонометрическую функцию. Заметим, что sin^2x = 1 - cos^2x и sin2x = 2sinxcosx. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

   6(1 - cos^2x) = 5 - 2(2sinxcosx) 6 - 6cos^2x = 5 - 4sinxcosx

2. Перенесем все члены в левую часть уравнения:

   6cos^2x - 4sinxcosx - 1 = 0

3. Заметим, что можно вынести общий множитель 2:

   2(3cos^2x - 2sinxcosx - 1) = 0

4. Разложим выражение в скобках на два множителя:

   (3cosx + 1)(cosx - 1) = 0

5. Теперь решим каждый множитель равенства отдельно:

   3cosx + 1 = 0 или cosx - 1 = 0

   Для первого множителя получаем: 3cosx = -1 cosx = -1/3

   Для второго множителя получаем: cosx = 1

6. Для первого множителя (3cosx + 1 = 0) находим значения x:

   cosx = -1/3 x = arccos(-1/3)

   Используя калькулятор, получаем: x ≈ 1.91063324 или x ≈ 4.23107593

7. Для второго множителя (cosx - 1 = 0) находим значение x:

   cosx = 1 x = arccos(1) x = 0

Таким образом, уравнение имеет три корня: x ≈ 0, x ≈ 1.91063324 и x ≈ 4.23107593.