Question

Про положительные числа а,в,с известно, что 1/а+/b+1/c>=a+b+c Докажите, что a+b+c>=3abc

Answer 1

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\geq a+b+c=>bc+ac+ab\geq abc(a+b+c)$

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\geq [(x-y)^2\geq 0=>\dfrac{x^2+y^2}{2}\geq xy]\geq ab+ac+bc+2ab+2ac+2bc=3(ab+ac+bc)\geq 3abc(a+b+c)\\ a,b,c>0=>a+b+c>0=>a+b+c\geq 3abc$

Answer 2

Для доказательства неравенства a + b + c ≥ 3abc из условия 1/а + 1/b + 1/c ≥ a + b + c, мы можем воспользоваться методом математической индукции. Давайте рассмотрим шаги доказательства:

Шаг 1: Базовый случай Пусть a = b = c = 1. Тогда неравенство превращается в 1/1 + 1/1 + 1/1 ≥ 1 + 1 + 1, что равно 3 ≥ 3. Базовый случай верен.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что неравенство a + b + c ≥ 3abc выполняется для некоторых положительных чисел a, b и c.

Шаг 3: Индукционный шаг Теперь рассмотрим неравенство для a' = a + δ, b' = b + ε и c' = c + φ, где δ, ε и φ - некоторые положительные числа, которые мы выберем позднее.

Мы хотим доказать, что a' + b' + c' ≥ 3a'b'c'.

Используя предположение индукции, у нас есть: (a + b + c) ≥ 3abc.

Теперь заметим, что: a' + b' + c' = (a + δ) + (b + ε) + (c + φ) = a + b + c + (δ + ε + φ).

Также: a'b'c' = (a + δ)(b + ε)(c + φ) = abc + (aεφ + bδφ + cδε) + δεφ.

Теперь давайте рассмотрим неравенство (a + b + c + δ + ε + φ) ≥ 3(abc + aεφ + bδφ + cδε + δεφ).

Чтобы доказать это, давайте добавим и вычтем некоторые термы в правой части: (a + b + c + δ + ε + φ) ≥ 3(abc + aεφ + bδφ + cδε + δεφ) (a + b + c) + (δ + ε + φ) ≥ 3abc + 3(aεφ + bδφ + cδε + δεφ) - (aεφ + bδφ + cδε + δεφ) (a + b + c) ≥ 3abc + 2(aεφ + bδφ + cδε + δεφ).

Теперь, чтобы завершить доказательство, мы должны показать, что 2(aεφ + bδφ + cδε + δεφ) ≥ 0. Но это верно, так как все a, b, c, δ, ε и φ - положительные числа.

Таким образом, мы получили неравенство a' + b' + c' ≥ 3a'b'c'.

Шаг 4: Заключение Мы доказали, что если неравенство a + b + c ≥ 3abc выполняется для некоторых положительных чисел a, b и c, то оно также выполняется для a', b' и c', где a' = a + δ, b' = b + ε и c' = c + φ, и δ, ε и φ - произвольные положительные числа.

Таким образом, неравенство a + b + c ≥ 3abc верно для всех положительных чисел a, b и c.