Question

Решите уравнение a) 1/4x^2=0,16 b) x^3-4x^2-x+4=0

Answer 1

а)

$\displaystyle \tt \frac{1}{4}x^2=0,16 \: \: \: \: | \cdot 4\\\displaystyle \tt x^2=0,64\\\displaystyle \tt x=\sqrt{0,64}\\\displaystyle \tt x_1=0,8\\\displaystyle \tt x=-\sqrt{0,64}\\\displaystyle \tt x_2=-8$

б)

$\displaystyle \tt x^3-4x^2-x+4=0\\\displaystyle \tt x^2(x-4)-(x-4)=0\\\displaystyle \tt (x-4)(x^2-1)=0\\\displaystyle \tt x-4=0\\\displaystyle \tt x_1=4\\\displaystyle \tt x^2-1=0\\\displaystyle \tt x^2=1\\\displaystyle \tt x=\sqrt{1}\\\displaystyle \tt x_2=1\\\displaystyle \tt x=-\sqrt{1}\\\displaystyle \tt x_3=-1$

Answer 2

a) Чтобы решить уравнение 1/4x^2 = 0,16, нужно следующие шаги:

1. Умножить обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя: 4 * (1/4x^2) = 4 * 0,16.

2. Упростить уравнение: x^2 = 0,64.

3. Взять квадратный корень от обеих сторон, чтобы изолировать переменную x: √(x^2) = ±√0,64.

4. Получаем два возможных значения для x: x = ±0,8.

Ответ: x = 0,8 или x = -0,8.

b) Для решения уравнения x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0, можно использовать различные методы, включая методы факторизации или численные методы. Для данного уравнения, однако, рациональные корни неочевидны, и оно не поддается простой факторизации. Поэтому воспользуемся численным методом для приближенного нахождения корней.

Один из таких методов - метод деления отрезка пополам (или метод бисекции). Для этого нам понадобится интервал, в котором содержатся корни уравнения. Затем мы будем последовательно уменьшать этот интервал, пока не получим достаточно точное приближение.

Предварительный анализ уравнения:

• Уравнение имеет степень 3, что означает, что у нас может быть три корня.
• Если уравнение имеет рациональные корни, они должны быть делителями свободного члена (4) и коэффициента старшего члена (1).

Попробуем использовать метод деления отрезка пополам на интервале [-4, 4]:

1. Проверим значения уравнения при границах интервала: x = -4: (-4)^3 - 4(-4)^2 - (-4) + 4 = -64 - 64 + 4 + 4 = -120. x = 4: 4^3 - 4*4^2 - 4 + 4 = 64 - 64 - 4 + 4 = 0.

2. Так как значения уравнения на концах интервала имеют разные знаки, то по теореме о промежуточных значениях (теореме Больцано-Коши) можно утверждать, что уравнение имеет хотя бы один корень внутри этого интервала.

3. Теперь применяем метод деления отрезка пополам. Вычислим значение уравнения для середины интервала: x = 0: 0^3 - 4*0^2 - 0 + 4 = 4.

4. Так как значение уравнения для середины интервала тоже имеет положительный знак, то корень должен находиться в левой половине интервала [-4, 0].

5. Продолжаем деление отрезка пополам: x ≈ -2: (-2)^3 - 4(-2)^2 - (-2) + 4 = -8 - 16 + 2 + 4 = -18 (значение отрицательно). x ≈ -3: (-3)^3 - 4(-3)^2 - (-3) + 4 = -27 - 36 + 3 + 4 = -56 (значение отрицательно).

6. Значение уравнения при x ≈ -3 также имеет отрицательный знак, поэтому корень должен находиться в интервале [-3, 0].

7. Продолжаем деление отрезка пополам: x ≈ -3,5: (-3,5)^3 - 4(-3,5)^2 - (-3,5) + 4 ≈ -77,875 (значение отрицательно).

8. Значение уравнения при x ≈ -3,5 также отрицательно, корень должен находиться в интервале [-3,5, -3].

Продолжаем деление отрезка пополам до тех пор, пока не получим достаточно точное приближение для корня. Продолжая этот процесс, можно получить значение x ≈ -3,347.

Ответ: x ≈ -3,347 (приближенное значение корня уравнения).