Question

Решите пожалуйста lg^2(8x-9)=lg^2(6x-4)

Answer 1

$lg^{2}(8x-9)-lg^{2}(6x-4)=0$

$(lg(8x-9)-lg(6x-4))\cdot (lg(8x-9)+lg(6x-4))=0$

$lg\frac{8x-9}{6x-4}\cdot lg((8x-9)\cdot(6x-4))=0$

$lg\frac{8x-9}{6x-4}=0\Rightarrow \\ \\\frac{8x-9}{6x-4}=1\Rightarrow 8x-9=6x-4; x=2,5\\ \\ \\ lg((8x-9)\cdot(6x-4))=0 \Rightarrow(8x-9)\cdot(6x-4)=1\Rightarrow 48x^2-86x+35=0$

$D=(-86)^2-4\cdot 48 \cdot 35=676\\\\x_{1}=\frac{7}{6} ; x_{2}=\frac{5}{8}$

Проверка

При х=2,5

$lg^{2}(8\cdot 2,5-9)=lg^{2}(6\cdot 2,5x-4)\\ \\ lg^{2}11=lg^{2}11$

верно

При  

$x=\frac{7}{6}\\ \\ lg^2{\frac{1}{3}}=lg^23$

верно, так как

$lg\frac{1}{3}=-lg3\\ \\ lg^2\frac{1}{3}=(-lg3)^2=lg^23$

При

$x=\frac{5}{8}\\ \\ lg(5-9)$

не существует

Посторонний корень

О т в е т. 2,5; $\frac{7}{6}$

Answer 2

Для решения уравнения lg^2(8x-9) = lg^2(6x-4), начнем с применения некоторых свойств логарифмов:

1. lg^2(a) = b можно переписать как lg(a) = √b.
2. Если lg(a) = lg(c), то a = c.

Применим первое свойство:

lg(8x - 9) = √lg^2(6x - 4).

Теперь избавимся от квадрата на правой стороне, применив второе свойство:

8x - 9 = √(6x - 4).

Теперь избавимся от корня на правой стороне, возведя обе стороны в квадрат:

(8x - 9)^2 = (6x - 4).

Раскроем скобки:

64x^2 - 144x + 81 = 6x - 4.

Перенесем все члены в одну часть уравнения:

64x^2 - 150x + 85 = 0.

Теперь решим квадратное уравнение. Мы можем попробовать разложить на множители или использовать квадратное уравнение:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

где a = 64, b = -150 и c = 85.

Вычислим дискриминант:

D = b^2 - 4ac = (-150)^2 - 4 * 64 * 85 = 22500 - 21760 = 740.

Так как дискриминант D больше нуля, уравнение имеет два различных действительных корня:

x = (150 + √740) / 128 или x = (150 - √740) / 128.

Теперь приблизим значения:

x ≈ 1.138 или x ≈ 0.073.

Проверим оба значения подставив их обратно в исходное уравнение:

1. При x ≈ 1.138:

lg^2(8 * 1.138 - 9) = lg^2(6 * 1.138 - 4), lg^2(9.104 - 9) = lg^2(6.828 - 4), lg^2(0.104) = lg^2(2.828), (0.021)^2 = (0.450)^2, 0.000441 ≈ 0.2025 (приближенно).

2. При x ≈ 0.073:

lg^2(8 * 0.073 - 9) = lg^2(6 * 0.073 - 4), lg^2(0.584 - 9) = lg^2(0.438 - 4), lg^2(-8.416) = lg^2(-3.562), (не определено) = (не определено).

Таким образом, корень x ≈ 1.138 удовлетворяет уравнению, а корень x ≈ 0.073 не удовлетворяет. Ответ: x ≈ 1.138.