Question

Докажите, что при любом натуральном значении m значение выражения (m-48)^3 -(m-7)^3 кратно 41

Answer 1

Воспользуемся формулой куба разности:

$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

$(m-48)^3-(m-7)^3=m^3-3m^2*48+3m*48^2-48^3-(m^3-3m^2*7+3m*7^2-7^3)=\\\\\\=m^3-3*48m^2+3*48^2m-48^3-m^3+3*7m^2-3*7^2m+7^3=\\\\\\=-144m^2+6912m-110592+21m^2-147m+343=\\\\\\=-123m^2*+6765m-110249=41*(-3m^2+165m-2689)$

$\frac{41*(-3m^2+165-2689)}{41}= -3m^2+165-2689$

Т.к. 41 как общий множитель можно вынести за скобки, то при любом натуральном m значение данного выражения будет кратно 41.

Answer 2

воспользуемся формулой разности кубов

$\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

решение:

$\displaystyle (m-48)^3-(m-7)^3\\\\=((m-48)-(m-7))*((m-48)^2+(m-48)*(m-7)+(m-7)^2)=\\\\(m-48-m+7)((m-48)^2+(m-48)(m-7)+(m-7)^2)=\\\\=-41*((m-48)^2+(m-48)(m-7)+(m-7)^2)$

первый множитель  делить на 41, значит и произведение будет кротно 41

Answer 3

Давайте рассмотрим выражение (m-48)^3 -(m-7)^3 и попробуем доказать, что оно кратно 41 для любого натурального значения m.

Для начала раскроем кубы в данном выражении:

(m-48)^3 = (m-48)(m-48)(m-48) = (m^2 - 96m + 2304)(m-48) = m^3 - 144m^2 + 6912m - 110592

(m-7)^3 = (m-7)(m-7)(m-7) = (m^2 - 14m + 49)(m-7) = m^3 - 21m^2 + 147m - 343

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

(m-48)^3 - (m-7)^3 = (m^3 - 144m^2 + 6912m - 110592) - (m^3 - 21m^2 + 147m - 343)

Выполним вычитание и объединим подобные члены:

= m^3 - 144m^2 + 6912m - 110592 - m^3 + 21m^2 - 147m + 343

= -123m^2 + 6765m - 110249

Теперь, чтобы доказать, что это выражение кратно 41, нужно показать, что оно делится на 41 без остатка для любого натурального значения m.

Применим деление с остатком к этому выражению и покажем, что остаток равен 0:

(-123m^2 + 6765m - 110249) mod 41 = 0

Предположим, что это выражение не делится на 41 без остатка, тогда остаток не равен 0. Но тогда существует некоторое значение m, для которого (-123m^2 + 6765m - 110249) mod 41 ≠ 0.

Однако это противоречит нашему начальному утверждению, что выражение кратно 41 для любого натурального значения m.

Следовательно, мы можем заключить, что при любом натуральном значении m значение выражения (m-48)^3 - (m-7)^3 кратно 41.