Question

Докажите, что 4ab делится на 100, если a^8+b^8 делится на 5.

Answer 1

Решение : ///////////////////////////

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте воспользуемся тем фактом, что если число делится на 5, то его пятая степень тоже делится на 5. Сформулируем это утверждение:

Если a^8 + b^8 делится на 5, то и (a^8 + b^8)^5 делится на 5.

Теперь, рассмотрим выражение (a^8 + b^8)^5:

(a^8 + b^8)^5 = a^(85) + 5C1 * a^(84) * b^8 + 5C2 * a^(83) * b^(82) + 5C3 * a^(82) * b^(83) + 5C4 * a^(81) * b^(84) + b^(8*5),

где Cn - биномиальные коэффициенты.

Так как a^8 + b^8 делится на 5, то все слагаемые в выражении выше, кроме первого, делятся на 5. Поэтому можем записать:

(a^8 + b^8)^5 ≡ a^(8*5) (mod 5).

Теперь рассмотрим выражение 4ab:

4ab = 2 * 2 * a * b.

Заметим, что 2 * a * b - это произведение двух чисел, а одно из них обязательно четное. Поэтому выражение 4ab всегда делится на 2, а значит, оно делится и на 100 (так как 100 = 2^2 * 5^2).

Теперь у нас есть два утверждения:

1. (a^8 + b^8)^5 делится на 5.
2. 4ab делится на 100.

Из первого утверждения следует, что a^(8*5) делится на 5, что эквивалентно a^40 делится на 5.

Теперь объединим оба утверждения:

1. a^40 делится на 5.
2. 4ab делится на 100.

Так как 4ab делится на 100 (2 * a * b делится на 2 и 100 = 2^2 * 5^2), а a^40 делится на 5, то и их произведение 4ab * a^40 = 4a^41 * b деится на 100 * 5 = 500.

Таким образом, мы доказали, что 4ab делится на 100, если a^8 + b^8 делится на 5.