Question

Найти наибольшее значение функции y=28tgx-28+7π-4 на отрезке [ - π/4 ; π/4 ]

Answer 1

$y=28tgx-28x+7\pi -4\; \; ,\; \; x\in [-\frac{\pi}{4}\, ;\, \frac{\pi}{4}\, ]\\\\y'=\frac{28}{cos^2x} -28=28\cdot (\frac{1}{cos^2x}-1)=0\; \; \to \; \; cos^2x=1\; \; ,\; \; \frac{1+cos2x}{2}=1\; ,\\\\cos2x=1\; \; ,\; \; 2x=2\pi n\; ,\; \; x=\pi n\; ,\; n\in Z\\\\n=0\; \to \; x=0\in [-\frac{\pi}{4}\, ;\, \frac{\pi}{4}\, ]\\\\x=-\frac{\pi}{4}:\; \; y(-\frac{\pi}{4})=-28+7\pi +7\pi -4=14\pi -32\approx 11,96\\\\x=0:\; \; y(0)=7\pi -4\approx 17,98\\\\x=\frac{\pi}{4}:\; \; y(\frac{\pi}{4})=28-7\pi +7\pi -4=24$

$y_{naibol.}=y(\frac{\pi}{4})=24$

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y=28tgx-28+7π-4 на отрезке [-π/4; π/4], мы должны найти максимальное значение функции в этом интервале.

Для начала, найдем производную функции y по x: y' = d/dx(28tgx - 28 + 7π - 4)

Для этого нам понадобится знание производной тангенса: d/dx(tgx) = sec^2(x)

Теперь возьмем производную y' по x: y' = 28 * sec^2(x)

Для найти критические точки (точки, где производная равна нулю или не существует), приравняем y' к нулю и решим уравнение: 28 * sec^2(x) = 0

Так как sec^2(x) не может быть нулем, у функции y=28tgx-28+7π-4 нет критических точек на интервале [-π/4; π/4].

Теперь проверим значения функции на концах интервала: y(-π/4) = 28 * tg(-π/4) - 28 + 7π - 4 y(-π/4) = 28 * (-1) - 28 + 7π - 4 y(-π/4) = -28 + 7π - 4 - 28 y(-π/4) = 7π - 60

y(π/4) = 28 * tg(π/4) - 28 + 7π - 4 y(π/4) = 28 * 1 - 28 + 7π - 4 y(π/4) = 28 + 7π - 4 - 28 y(π/4) = 7π - 4

Таким образом, функция y=28tgx-28+7π-4 принимает наименьшее значение на конце интервала при x=-π/4 и наибольшее значение на конце интервала при x=π/4.

Мы можем сравнить эти значения, чтобы найти наибольшее из них: Наибольшее значение на отрезке [-π/4; π/4] равно 7π - 4.