Question

1. Докажите неравенство:а) (х+1)2 > х (х+2); б) а2 +1 2 (3а – 4).​

Answer 1

Ответ:

а) 2х+2>х^2+2х

2х+2-х^2-2х>0

х^2-2<0 ( умножил на -1)

х^2<2

х<√2; х<-√2.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

a) (x+1)²=x²+2x+1>x²+2x=x(x+2)

b) (a-3)²≥0⇒a²-6a+9≥0⇒a²+1-6a+8≥0⇒a²+1≥6a-8=2(3a-4)

Answer 3

Для того чтобы доказать данные неравенства, мы можем преобразовать их, используя алгебраические свойства и правила.

а) Докажем неравенство (х + 1)2 > х(х + 2):

1. Раскроем квадрат слева:

(х + 1)2 = (х + 1)(х + 1) = х^2 + х + х + 1 = х^2 + 2х + 1

2. Теперь неравенство примет вид:

х^2 + 2х + 1 > х(х + 2)

3. Перенесем все элементы в одну сторону:

х^2 + 2х + 1 - х(х + 2) > 0

4. Раскроем скобку и упростим:

х^2 + 2х + 1 - х^2 - 2х > 0

1 > 0

Утверждение 1 > 0 верно, так как 1 больше нуля. Значит, исходное неравенство (х + 1)2 > х(х + 2) верно для всех значений х.

б) Докажем неравенство а^2 + 1 < 2(3а – 4):

1. Раскроем умножение справа:

2(3а – 4) = 6а – 8

2. Теперь неравенство примет вид:

а^2 + 1 < 6а – 8

3. Перенесем все элементы в одну сторону:

а^2 + 1 - (6а – 8) < 0

4. Упростим выражение:

а^2 + 1 - 6а + 8 < 0

а^2 - 6а + 9 < 0

5. Разложим квадратный трехчлен на множители:

(а - 3)^2 < 0

Теперь давайте проанализируем полученное неравенство. Квадрат любого числа не может быть отрицательным, так как квадрат числа всегда неотрицательный. Значит, (а - 3)^2 не может быть меньше нуля для любого значения а.

Таким образом, неравенство а^2 + 1 < 2(3а – 4) неверно для всех значений а.

Итак, доказано:

а) (х + 1)2 > х(х + 2) верно для всех значений х.

б) а^2 + 1 < 2(3а – 4) неверно для всех значений а.