Question

Даю 60 балов и лучший ответ за пояснение Знайдіть перший член і знаменник геометричної прогресії (bn), якщо b3+b5=100, b1+b3=20

Answer 1

$\left \{ {{b_{3}+b_{5}=100} \atop {b_{1}+b_{3}=20}} \right. \\\\\left \{ {{b_{1}*q^{2}+b_{1}*q^{4}=100} \atop {b_{1}+b_{1}*q^{2}=20}} \right.\\\\:\left \{ {{b_{1}q^{2}(1+q^{2})=100} \atop {b_{1}(1+q^{2})=20}} \right.\\--------\\ q^{2} =5\\\\q_{1,2}=\pm \sqrt{5}$

$b_{1}+b_{3}=20\\\\b_{1} +b_{1}*q^{2}=20\\\\b_{1}(1+q^{2})=20\\\\b_{1}=\frac{20}{1+q^{2}}=\frac{20}{1+5}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$

Answer 2

Ответ: b₁=10/3    q=±√5.

Объяснение: a₁=?         q=?

{b₃+b₅=100          {b₁q²+b₁q⁴=100     {b₁q²*(1+q²)=100

{b₁+b₃=20            {b₁+b₁q²=20          {b₁*(1+q²)=20

Разделим первое уравнение на второе:

q²=5

q=±√5

b₁*(1+q²)=20

b₁=20/(1+q²)=20/(1+(±√5)²)=10/(1+5)=20/6=10/3.

Answer 3

Для знаходження першого члена (b1) та знаменника (q) геометричної прогресії ми можемо скористатись системою рівнянь, використовуючи надані умови:

1. Умова b3 + b5 = 100
2. Умова b1 + b3 = 20

Основною властивістю геометричної прогресії є те, що кожен член послідовності є добутком попереднього члена на знаменник (q). Тобто, маємо:

b3 = b1 * q^2 (так як b3 - третій член послідовності, а ми рухаємося вперед на два члени для отримання b3 з b1) b5 = b1 * q^4 (так як b5 - п'ятий член послідовності, а ми рухаємося вперед на чотири члени для отримання b5 з b1)

Тепер ми можемо підставити ці значення у надані умови:

b3 + b5 = 100 (b1 * q^2) + (b1 * q^4) = 100

Також, умова b1 + b3 = 20:

b1 + (b1 * q^2) = 20

Тепер розв'яжемо цю систему рівнянь.

Спершу спростимо умову b1 + b3 = 20:

b1 + b1 * q^2 = 20

Винесемо b1 за дужки:

b1 * (1 + q^2) = 20

Тепер поділимо обидві сторони на (1 + q^2):

b1 = 20 / (1 + q^2) (рівняння 1)

Тепер підставимо b1 у рівняння b3 + b5 = 100:

(b1 * q^2) + (b1 * q^4) = 100

Підставимо значення b1 з рівняння 1:

[(20 / (1 + q^2)) * q^2] + [(20 / (1 + q^2)) * q^4] = 100

Тепер спростимо рівняння:

20 * q^2 / (1 + q^2) + 20 * q^4 / (1 + q^2) = 100

Знаменник у обох доданках однаковий, тому можемо об'єднати дроби:

20 * (q^2 + q^4) / (1 + q^2) = 100

Тепер помножимо обидві сторони на (1 + q^2), щоб позбавитись від знаменника:

20 * (q^2 + q^4) = 100 * (1 + q^2)

Поділимо обидві сторони на 20:

q^2 + q^4 = 5 + 5 * q^2

Тепер перенесемо всі члени в одну частину рівняння:

q^4 - 4 * q^2 + 5 = 0 (рівняння 2)

Тепер ми маємо систему рівнянь, яка складається з рівняння 1 і рівняння 2:

Рівняння 1: b1 = 20 / (1 + q^2) Рівняння 2: q^4 - 4 * q^2 + 5 = 0

Ми можемо розв'язати рівняння 2 для знаменника q, а потім знайти перший член b1, підставивши значення q у рівняння 1.

Якщо ви розв'яжете рівняння 2, отримаєте значення q. Після чого, використайте рівняння 1, щоб знайти перший член b1. Задача вирішена!