Question

Сколько существует натуральных b, таких, что уравнение x^2-bx+80080=0 имеет два целых корня?

Answer 1

Чтобы уравнение x^2 - bx + 80080 = 0 имело два целых корня, дискриминант должен быть полным квадратом. Дискриминант для данного уравнения равен D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -b и c = 80080.

Таким образом, условие полного квадрата можно записать в виде квадратного уравнения: b^2 - 4ac = m^2, где m - целое число.

Подставим значения a, b и c и перепишем уравнение: b^2 - 4ac = b^2 - 4180080 = b^2 - 320320.

Теперь у нас есть уравнение: b^2 - 320320 = m^2.

Перенесем все в левую часть уравнения: b^2 - m^2 - 320320 = 0.

Теперь это уравнение может быть представлено как разность квадратов: (b + m)(b - m) - 320320 = 0.

Задача сводится к нахождению всех целых значений b и m, удовлетворяющих этому уравнению.

Проанализируем это дальше. Заметим, что разность квадратов может быть равна нулю только в двух случаях:

1. (b + m) = 0 и (b - m) = 320320.
2. (b + m) = 320320 и (b - m) = 0.

Рассмотрим первый случай: (b + m) = 0 => b = -m. (b - m) = 320320 => -m - m = 320320 => -2m = 320320 => m = -160160.

Теперь рассмотрим второй случай: (b + m) = 320320 => b = 320320 - m. (b - m) = 0 => 320320 - m - m = 0 => 320320 - 2m = 0 => m = 320320/2 = 160160.

Таким образом, получили два значения m: m = -160160 и m = 160160.

Теперь найдем соответствующие значения b:

1. Для m = -160160: b = -m = -(-160160) = 160160.
2. Для m = 160160: b = 320320 - m = 320320 - 160160 = 160160.

Итак, существует два натуральных числа b, удовлетворяющих условию: b = 160160 и b = 160160.