Question

4. Найти наименьшее значение функции f (x) = | tg x + ctg x | (плиззззззз)​

Answer 1

Решение : ///////////////////////////////

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции f(x) = |tg(x) + ctg(x)|, где tg(x) обозначает тангенс x, а ctg(x) обозначает котангенс x, необходимо проанализировать поведение функции на всей области определения.

Заметим, что область определения для данной функции f(x) - это множество всех значений x, для которых функции tg(x) и ctg(x) определены и не равны нулю. Так как tg(π/2) и ctg(0) не определены, то область определения будет D = (0, π/2) U (π/2, π) U (π, 3π/2) U (3π/2, 2π) U (2π, 5π/2) U (5π/2, 3π).

Теперь рассмотрим три случая:

1. В области (0, π/2): Здесь обе функции tg(x) и ctg(x) положительны. Так как сумма положительных чисел не может быть равна нулю, то минимальное значение f(x) равно f(0) = |tg(0) + ctg(0)| = |0 + ∞| = ∞.

2. В области (π/2, π) и (3π/2, 2π): В этих интервалах tg(x) отрицателен, а ctg(x) положителен. Так как сумма отрицательного и положительного чисел может равняться нулю, существует возможность достижения минимального значения в этих интервалах. Обратите внимание, что функция f(x) симметрична относительно π, поэтому значения на этих интервалах будут одинаковыми.

3. В области (π, 3π/2) и (2π, 5π/2): В этих интервалах tg(x) положителен, а ctg(x) отрицателен. Аналогично второму случаю, здесь также возможно достижение минимального значения и функция симметрична относительно 3π/2.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) равно |tg(x) + ctg(x)| = 0 и достигается в точках x = π и x = 3π/2, а именно:

f(π) = |tg(π) + ctg(π)| = |0 + 0| = 0

f(3π/2) = |tg(3π/2) + ctg(3π/2)| = |0 + 0| = 0