Question

Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной астроидой

Answer 1

$V=\pi \int\limits^a_b {f^2(x)} \, dx$

Так как астроида симметрична относительно оси Ох и Оу, то

вычислим половину объема, полученного вращением треугольника АОВ вокруг оси Ох  ( точке B соответствует значение параметра t=0; точке А  -  t=π/2)

$\frac{1}{2} V=\pi \int\limits^0_{\frac{\pi }{2} } {(asin^3t)^2} \, d(acos^3t)= \pi a^3\int\limits^0_{\frac{\pi }{2} } {(sin^6t}\cdot 3cos^2t\cdot(-sint) \, dt= \\ \\ =-3\pi a^3\int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {(1-cos^2t)^3 \cdot cos^2td(cost)} \, dt=\frac{16 \pi a^3 }{105}$

$V=\frac{32\pi a^3 }{105}$

Answer 2

Для того чтобы найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной астроидой, нужно знать уравнение астроиды и ограничения вращения.

Астроида - это кривая, заданная уравнением в полярных координатах. Общий вид уравнения астроиды:

$r = a \cdot \cos^n(\theta)$

где:

• $r$ - расстояние от центра до точки астроиды,
• $\theta$ - угол между осью ОX и радиус-вектором к точке астроиды,
• $a$ - параметр, определяющий размер астроиды,
• $n$ - показатель степени, обычно равен 3.

Для того чтобы вычислить объем тела, полученного вращением астроиды вокруг оси OX, можно использовать интеграл объема. Объем вращения вокруг оси OX можно найти по формуле:

$V = \pi \int_{\theta_1}^{\theta_2} (r(\theta))^2 d\theta$

где:

• $\theta_1$ и $\theta_2$ - пределы интегрирования, которые определяют угловой интервал для вращения астроиды.

Таким образом, чтобы вычислить объем тела, необходимо знать параметры астроиды (значение $a$ и $n$) и угловой интервал для вращения $\theta_1$ и $\theta_2$. Зная эти значения, можно рассчитать объем тела с помощью интеграла.