Question

Знайдіть у градусах найменший додатний корінь рівняння cos2x-5cosx-2=0

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

cos²x-sin²x-5cosx-2=0

cos²x-(1-cos²x)-5cosx-2=0

cos²x-1+cos²x-5cosx-2=0

2cos²x--5cosx-3=0

замена пусть cosx=t

2t²-5t-3=0

D=25+24=49

t1=3

t2=-1/2

обратная замена

cosx=3 - нет корней

cosx=-1/2

x=±arccos(-1/2)+2πn, n∈Z

x=±2π/3+2πn, n∈Z

наименьший положительный корень

n=0, x= 2π/3

Answer 2

Щоб знайти найменший додатний корінь рівняння cos^2(x) - 5cos(x) - 2 = 0, спробуємо розв'язати це рівняння.

Зробимо підстановку: позначимо cos(x) за t, тоді рівняння стає квадратним відносно t.

cos^2(x) - 5cos(x) - 2 = 0

Підставимо t = cos(x):

t^2 - 5t - 2 = 0

Тепер знайдемо корені цього квадратного рівняння. Використаємо квадратне рівняння:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

де a = 1, b = -5 і c = -2:

t = (5 ± √(5^2 - 41(-2))) / 2*1

t = (5 ± √(25 + 8)) / 2

t = (5 ± √33) / 2

Таким чином, ми маємо два значення для t:

1. t = (5 + √33) / 2 ≈ 3.37
2. t = (5 - √33) / 2 ≈ -0.37

Тепер знаходимо значення x за допомогою тригонометричного виразу:

x = cos^(-1)(t)

1. x = cos^(-1)((5 + √33) / 2) ≈ 1.21 радіан ≈ 69.42 градусів
2. x = cos^(-1)((5 - √33) / 2) ≈ 2.73 радіан ≈ 156.63 градусів

Зверніть увагу, що косинус має період 2π (360 градусів), тому ми шукаємо найменший додатний корінь, що знаходиться між 0 і 360 градусами. З означених значень, найменший додатний корінь буде:

x ≈ 69.42 градусів.