Question

Докажите тождество sin ^4a+sin^2×cos^2a=1-cos^2 a​

Answer 1

$\sin^4a+\sin^2a\cdot\cos^2a=\sin^2a(\sin^2a+\cos^2a)=\sin^2a\cdot1=\sin^2a=1-\cos^2a$

Что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся тригонометрическими тождествами. В частности, мы будем использовать следующие тождества:

1. Тождество суммы квадратов синуса и косинуса: sin^2(a) + cos^2(a) = 1.

2. Тождество произведения синуса и косинуса: sin(a) * cos(a) = 1/2 * sin(2a).

Начнем с левой стороны тождества:

sin^4(a) + sin^2(a) * cos^2(a)

Теперь заменим sin^2(a) на (1 - cos^2(a)), используя первое тождество:

sin^4(a) + (1 - cos^2(a)) * cos^2(a)

Далее раскроем скобки:

sin^4(a) + cos^2(a) - cos^4(a)

Теперь заменим sin^4(a) на (1 - cos^2(a))^2, используя снова первое тождество:

(1 - cos^2(a))^2 + cos^2(a) - cos^4(a)

Теперь раскроем квадрат:

1 - 2 * cos^2(a) + cos^4(a) + cos^2(a) - cos^4(a)

Заменим -2 * cos^2(a) + cos^2(a) на -cos^2(a):

1 - cos^2(a).

Таким образом, левая сторона равна:

1 - cos^2(a).

Изначальная правая сторона также равна:

1 - cos^2(a).

Таким образом, мы доказали исходное тождество:

sin^4(a) + sin^2(a) * cos^2(a) = 1 - cos^2(a).