Question

При якому значені х числа 4х+19,2х+5 і х+1 є послідовними членам геометричної прогресії? Знайдіть ці числа.

Answer 1

Ответ: 27; 9; 3.

Объяснение:

$\frac{2x+5}{4x+19} =\frac{x+1}{2x+5} \\(2x+5)^{2} =(x+1)*(4x+19)\\4x^{2} +20x+25=4x^{2} +19x+4x+19\\20x+25=23x+19\\3x=6|:3\\x=2.\\4*2+19=8+19=27\\2*2+5=4+5=9\\2+1=3.$

Answer 2

Для того щоб числа 4х + 19,2х + 5 та х + 1 були послідовними членами геометричної прогресії, співвідношення між ними має вигляд:

(4х + 19,2х + 5) / (х + 1) = r,

де r - це співвідношення прогресії (знаменник раціональної пропорції).

Спростимо ліву частину рівняння:

(4х + 19,2х + 5) / (х + 1) = (23,2х + 5) / (х + 1).

Тепер знайдемо значення r, вирішивши це рівняння:

(23,2х + 5) / (х + 1) = r.

Ми знаємо, що у геометричній прогресії кожний член є добутком попереднього члена на співвідношення прогресії, тобто:

a2 = a1 * r.

У нашому випадку, a1 = 4х + 19,2х + 5, а a2 = х + 1. Підставимо ці значення:

х + 1 = (4х + 19,2х + 5) * r.

Розгорнемо добуток на правій стороні:

х + 1 = 23,2хr + 5r.

Тепер ми можемо вирішити рівняння відносно r:

х + 1 = 23,2хr + 5r.

Поділимо обидві сторони на r:

(х + 1) / r = 23,2х + 5.

Виразимо r:

r = (х + 1) / (23,2х + 5).

Тепер ми маємо співвідношення прогресії r. Щоб знайти значення х, при якому числа будуть послідовними членами геометричної прогресії, ми можемо підставити вираз для r у рівняння, яке визначає геометричну прогресію:

a2 = a1 * r,

де a1 = 4х + 19,2х + 5, а a2 = х + 1.

(х + 1) = (4х + 19,2х + 5) * ((х + 1) / (23,2х + 5)).

Тепер розгорнемо добуток на правій стороні:

х + 1 = (23,2х + 5)((х + 1) / (23,2х + 5)).

Зверніть увагу, що (23,2х + 5) знімаються в чисельнику та знаменнику.

х + 1 = х + 1.

Отже, незалежно від значення х, числа 4х + 19,2х + 5 та х + 1 завжди будуть послідовними членами геометричної прогресії.